Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点．
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的余弦值以及BA₁与面C₁EF所成的角的大小．

Answer 1

（I）由题意可得：以A为原点，分别以直线AB、AD、AA₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，且DF=x，则A₁（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，E(1，

1

2

，0)，F(x，1，0)
所以

D1E

=(1，-

1

2

，-1)，

AB1

=(1，0，1)，

AF

=(x，1，0)
由D1E⊥面AB1F?

D1E

⊥

AB1

且

D1E

⊥

AF

，
所以

D1E • AB1 =0 D1E • AF =0

，可解得x=

1

2

所以当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F．
（II）当D₁E⊥平面AB₁F时，F是CD的中点，F(

1

2

，1，0)
由正方体的结构特征可得：平面AEF的一个法向量为

m

=(0，0，1)，
设平面C₁EF的一个法向量为

n

=（x，y，z），
在平面C₁EF中，

EC1

=(0，

1

2

，1)，

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)，
所以

EC1 • n =0 EF • n  =0

，即

y=-2z x=y

，
所以取平面C₁EF的一个法向量为

n

=(2，2，-1)，
所以cos＜

m

，

n

＞=-

1

3

，
所以＜

m

，

n

＞=π-arccos

1

3

，
又因为当把

m

，

n

都移向这个二面角内一点时，

m

背向平面AEF，而

n

指向平面C₁EF，
所以二面角C₁-EF-A的大小为π-arccos

1

3

又因为

BA1

=(-1，0，1)，
所以cos＜

BA1

，

n

＞=-

2

2

，
所以＜

BA1

，

n

＞=135?，
∴BA₁与平面C₁EF所成的角的大小为45°．