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    宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为m的小球（可视为质点），如图所示．当在最高点给小球一瞬间的速度v时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，已知圆弧的轨道半径为r，月球的半径为R，引力常量为G．求：
    （1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？
    （2）月球的平均密度为多大？
    （3）轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？
    分析：（1）由最小发射速度应是万有引力等于重力，而重力又充当向心力时的圆周运动速度，由此可以解得最小发射速度．
    （2）由万有引力等于重力解出质量，然后又密度等于质量除以体积可以得到密度．
    （3）由万有引力充当向心力的周期表达式，可以得到周期．
    解答：解：（1）小球在最高点重力充当向心力：mg=m
    v2
    r

    月球近地卫星最小发射速度：m′g=m′
    v12
    R

    又：G
    Mm′
    R2
    =m′g
    解得：v1=
    R
    r
    v
    （2）由：G
    Mm
    R2
    =mg
    得：M=
    gR2
    G

    又：ρ=
    M
    V
    =
    M
    4πR3
    3

    解得：ρ=
    3v2
    4πrRG

    （3）对该卫星有：G
    Mm1
    (2R)2
    =m1
    4π2
    T2
    2R
    解得：T=4π
    2Rr
    v2

    答：
    （1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为v1=
    R
    r
    v
    （2）月球的平均密度为ρ=
    3v2
    4πrRG

    （3）轨道半径为2R的环月卫星周期为T=4π
    2Rr
    v2
    点评：本题重点一是对最小发射速度的求解，应知道最小发射速度对应的向心力时重力．二是密度的求解，就是用质量除以体积，这里的重点是依据已知量来表示质量．
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