Question

如图所示，MN和PQ是两根放在竖直面内且足够长的平行光滑金属导轨，相距为2L．左侧是水平放置长为6L、间距为L的平行金属板，且连接电阻R．金属板右半部、ef右侧区域均处在磁感应强度均为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中．质量为M、电阻也为R的导体棒ab与导轨接触良好．棒ab在ef左侧O处受水平向右的力作用，由静止开始向右运动，在某一时刻恰好进入ef右侧区域且以速度v0匀速运动，同时从金属上板左端边缘水平向右射入电量为q带负电油滴能在金属板左半部匀速向右运动，不计其他电阻．
（1）求通过电阻R的电流I和两端的电压U；
（2）若要求油滴能从金属板间飞出，求油滴射入的速率u的范围：
（3）若棒在进入ef右侧区域前，所受水平向右的力与移动的距离成正比，求力与移动距离的比值K．

Answer 1

分析：（1）根据E=BLv求出感应电动势的大小，通过欧姆定律求出电流和电压的大小．
（2）根据电荷匀速直线运动，通过电场力和重力平衡求出电荷质量的大小，根据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，油滴能从金属板间飞出，抓住两个临界情况，即从左侧下边缘射出和从右侧下边缘射出，求出临界的半径，根据洛伦兹力提供向心力求出临界的速度．
（3）求出移动的距离x，通过动能定理求出力与移动距离的比值K．

解答：解：（1）棒产生的感应电动势   E=2BLv₀
根据欧姆定律     I=

E

R+R

=

BLv0

R

U=IR，
U=BLv₀
（2）对油滴在金属板左半部运动，列力平衡方程mg=q

U

L

  m=

qBv0

g

油滴进入金属板右半部，做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心．qBu=m

u2

r

   r=

mu

qB

①最小半径r1=

L

2

，油滴从金属板左侧飞出最大速率u1=

qBr1

m

=

gL

2v0

②最大半径

r

2 2

=(3L)2+(r2-L)2，r₂=5L
油滴从金属板右侧飞出最小速率u2=

qBr2

m

=

5gL

v0

所以，油滴射入的速率范围

gL

2v0

≤u≤

5gL

v0

．
（3）对棒，依题意，当ab棒到达ef时，所受的拉力等于安培力，即F=BI?2L=Kx，解得x=

BI?2L

K

由动能定理

1

2

BI2L?

BI2L

k

=

1

2

M

v

2 0

  k=

4B4L4

MR2

答：（1）通过电阻R的电流为

BLv0

R

，两端的电压为BLv₀．
（2）油滴射入的速率u的范围

gL

2v0

≤u≤

5gL

v0

．
（3）力与移动距离的比值k=

4B4L4

MR2

．

点评：本题考查了电磁感应与带电粒子在复合场中运动的综合，难度较大，关键抓住临界情况，选择合适的规律进行求解．