Question

20．平直的公路上，一辆汽车以加速度a从静止开始启动，人在车后面，以初速度v₀追赶汽车，开始时，人与车之间的距离为s₀，设人与车速度相等前，人比车多走的距离为△s，判断人是否能追上车？
（1）当△s＞s₀时，追上了，需要求何时追上？
（2）当△s＜s₀时，追不上，需要求人与车之间的最小距离s_min？
（3）当△s=s₀时，恰好追上，则人匀速运动的速度至少为多少？

Answer 1

分析 （1）当△s＞s₀时，人会追上汽车，结合位移关系，运用运动学公式求出追及的时间．
（2）当△s＜s₀时，人不会追上汽车，当速度相等时，两者之间有最小距离，结合速度时间公式和位移公式求出最小距离．
（3）当△s=s₀时，恰好追上，根据位移关系，抓住速度相等时恰好追上求出人匀速运动的最小速度．

解答 解：（1）在速度相等前，人的速度大于车的速度，若△s＞s₀时，人会追上汽车．
根据${v}_{0}t={s}_{0}+\frac{1}{2}a{t}^{2}$解得：t=$\frac{{v}_{0}-\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-2a{s}_{0}}}{a}$．
（2）若△s＜s₀时，追不上，速度相等时有最小距离．速度相等经历的时间为：$t=\frac{{v}_{0}}{a}$，
$△x={v}_{0}\frac{{v}_{0}}{a}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}$．
则最小距离s_min=s₀-△x=${s}_{0}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}$．
（3）当△s=s₀时，恰好追上，根据${v}_{0}\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}+{s}_{0}$，解得最小初速度为：${v}_{0}=\sqrt{2a{s}_{0}}$．
答：（1）当△s＞s₀时，追上了，需要经历$\frac{{v}_{0}-\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-2a{s}_{0}}}{a}$的时间追上；
（2）当△s＜s₀时，追不上，人与车之间的最小距离为${s}_{0}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}$；
（3）当△s=s₀时，恰好追上，则人匀速运动的速度至少为$\sqrt{2a{s}_{0}}$．

点评 本题考查了运动学中的追及问题，抓住临界状态，结合位移关系，运动学公式灵活求解，难度中等．