Question

如图甲所示，一个质量为m=2.0×10^-11kg，电荷量q=+1.0×10^-5C的带电微粒（重力忽略不计），从静止开始经U₁=100V电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场，偏转电场的电压如图乙所示．金属板长L=20cm，两板间距d=10

3

cm．求：
（1）微粒射出偏转电场时的最大偏转角θ；
（2）若紧靠偏转电场边缘有一边界垂直金属板的匀强磁场，该磁场的宽度为D=10cm，为使微粒无法由磁场右边界射出，该匀强磁场的磁感应强度B应满足什么条件？
（3）试求在上述B取最小值的情况下，微粒离开磁场的范围．

Answer 1

分析：（1）微粒先经加速电场加速，后进入偏转电场偏转做类平抛运动，最后进入磁场中做匀速圆周运动．先根据动能定理列式，得出加速获得的速度．运用运动的分解，根据牛顿第二定律和运动学公式结合得出射出电场时的偏转角正切表达式，再分析求解最大偏转角θ；
（2）当微粒在磁场中的运动轨迹恰好与磁场右边界相切时，恰好不能射出磁场，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律求出B的最小值．
（3）根据几何知识求解微粒离开磁场的范围．

解答：解：（1）微粒在加速电场中由动能定理得：
  qU₁=

1

2

m

v

2 0

 ①
 解得v₀=1.0×10⁴m/s
微粒在偏转电场中运动的时间为：t=

L

v0

=2×10-5s＜＜0.2s
因此微粒在偏转电场中运动可认为电场恒定．
微粒在偏转电场中做类平抛运动，有：a=

qU2

md

，v_y=at=a

L

v0

飞出电场时，速度偏转角的正切为：
  tanθ=

vy

v0

联立解得tanθ=

U2L

2U1d

 ②
当U₂最大时，tanθ最大，由图乙读出U₂最大值为100V，代入解得tanθ最大值为

3

3

，解得θ的最大值为30°．    
（2）进入磁场时微粒的速度是：v=

v0

cosθ

     ③
轨迹如图，由几何关系有：D=r+rsinθ  ④
由洛伦兹力提供向心力：qvB=m

v2

r

         ⑤
由③～⑤联立得：B=

mv0(1+sinθ)

qDcosθ

代入数据解得：B=

3

5

T=0.346T
所以，为使微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少为0.346T．
（3）设微粒从左边界N处离开，N距轴线与磁场边界交点O的距离为x，有：
 

x=2rcosθ-y=2 mv qB cosθ- 1 2 ? U1q md ? L2 v02 = 8mU1q qB - U2L2 4U1d

可见，在B取最小值时，x仅与U₂有关．代入数值可得：
X∈[

3

30

m，

3

10

m]．
答：
（1）微粒射出偏转电场时的最大偏转角θ是30°．
（2）该匀强磁场的磁感应强度B至少为0.346T．
（3）在上述B取最小值的情况下，微粒离开磁场的范围是X∈【

3

30

m，

3

10

m】．

点评：本题是带电粒子的复合场中运动的类型，关键要分析出微粒的运动情况，作出粒子的运动轨迹，根据几何知识得到轨迹半径与磁场边界半径的关系．