Question

在平面直角坐标系xoy中，有一质量为m、电荷量为q的带正电点电荷正从原点O沿y轴正方向以初速度v₀出发，电荷重力不计，试在电荷运动的空间内加上一个电场，使该点电荷能通过第一象限的已知点P（a，b）（P点坐标a、b为已知量），且使电荷在P点的动能和电荷在原点O的初动能相等．要求所加电场尽可能简单、常规，电荷的运动也尽可能简单．请设计出一种解决方案，求出这种方案中，原点O处的场强大小．

Answer 1

分析：在空间放置一个点电荷，可以使得运动的电荷做匀速圆周运动经过P点，根据几何关系求出轨道半径，通过牛顿第二定律，根据库仑引力提供向心力求出点电荷的电量．也可以利用斜抛运动知识设计方案．

解答：解：方案一：利用位于x轴上（r，0）点处带负电荷Q产生的电场，使粒子做匀速圆周运动到达P点（见图甲），电荷Q位于圆心Oˊ处（r，0）设OˊP与x轴成角，则：
r+rcosα=a…①
rsinα=b…②
由①②式得：r=

a2+b2

2a

… ③
又qE₁=m

v 2 0

r

  ④
由③④解得：E₁=

2m v 2 0 a

q(a2+b2)

方案二：利用一与OP垂直的斜向下的匀强电场E₂在统一等势面上，使粒子做抛体运动到达P点（见图乙）
设OP长为r，将电荷的运动分解OPˊ在和垂直于OP的方向上
  v₀sinβ?t=r
  0-v₀cosβ=-

qE2

m

?

t

2

注意到sinβ=

b

r

?cosβ=

a

r

 r=

a2+b2

解得：E₂=

2m v 2 0 ab

q (a2+b2)3

答：设计方案见上，原点O处的场强大小为

2m v 2 0 a

q(a2+b2)

或

2m v 2 0 ab

q (a2+b2)3

．

点评：本题是开放题，需要选择简单、常规的方案，对学生的能力要求较高，是一道开发思维的好题．