Question

如图所示，在平面直角坐标系xoy的0≤x≤2L、0≤y≤L区域内存在沿y轴正向的匀强电场，一质量为m，电荷量为q，不计重力，带正电的粒子以速度v₀从坐标原点O沿x轴正向射入电场后，恰好从M（2L，L）点离开电场，粒子离开电场后将有机会进入一个磁感应强度大小为B=

2mv0

qL

、方向垂直于纸面向外的矩形磁场区域，并最终从x轴上的N（4L，0）点与x轴正向成45°角离开第一象限，题中只有m、v₀、q、L为已知量，求：
（1）匀强电场的电场强度e；
（2）粒子在第一象限内运动的时间；
（3）如果粒子离开M点后有机会进入的是垂直纸面向里的矩形磁场，磁感应强度大小仍然为B=

2mv0

qL

，粒子运动一段时间后仍然能从x轴上的N点与x轴正向成45°角离开第一象限，则该矩形区域的最小面积S．

Answer 1

分析：（1）带电粒子进入匀强电场后做类平抛运动，根据沿电场方向上做匀加速直线运动，垂直于电场方向做匀速直线运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出电场强度的大小．
（2）根据类平抛运动求出粒子在电场中的运动时间，求出带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径，根据几何关系确定粒子的轨迹以及圆心角，求出在匀强磁场中运动的时间，出磁场做匀速直线运动，求出匀速直线运动的时间，三个时间之和为所求的总时间．
（3）磁感应强度大小仍然为B=

2mv0

qL

，则粒子的轨道半径不变，矩形区域与轨迹相切，结合几何关系求出矩形的长和宽，从而求出矩形区域的最小面积S．

解答：解：（1）由带电粒子在电场中做类平抛运动有L=

1

2

?a

t

2 1

…①
2L=v₀t₁…②
Eq=ma…③
由①②③有E=

m v 2 0

2qL

       t1=

2L

v0

（2）粒子在电场中运动y方向上有v_y=at₁=v₀
v=

2

v0    θ=45°
粒子在磁场中圆周运动有Bqv=m

v2

R

…④
R=

2

2

L
由几何关系，粒子离开电场后直接进入磁场四分之一圆周之后离开磁场做匀速直线运动，最后运动到N点．
粒子在磁场中运动时间为t2=

π 2 R

v

=

πL

4v0

…⑤
粒子匀速直线运动时间为t3=

2 L

v

…⑥
则t=t₁+t₂+t₃…⑦
由②⑤⑥⑦有：t=

(12+π)L

4v0

（3）粒子运动轨迹如图所示，
矩形边长为b=2R，c=R+Rcos45°
S=bc=

2 +2

2

L2
答：（1）匀强电场的电场强度为

m v 2 0

2qL

（2）粒子在第一象限内运动的时间为

(12+π)L

4v0

（3）该矩形区域的最小面积为

2 +2

2

L2

点评：本题考查了带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，在磁场中的匀速圆周运动，对数学的几何能力要求较高，关键画出粒子的轨迹图，结合牛顿第二定律以及向心力等知识进行求解．