Question

9．光滑水平面上有一质量为M=2kg的足够长的木板，木板上最右端有一大小可忽略、质量为m=3kg的物块，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.4，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．开始时物块和木板都静止，距木板左端L=2.4m处有一固定在水平面上的竖直弹性挡板P．现对物块施加一水平向左的外力F=6N，若木板与挡板P发生撞击的时间极短，并且撞击时无动能损失，物块始终未能与挡板相撞，求：
（1）木板第一次撞击挡板P时的速度v为多少？
（2）木板从第一次撞击挡板P到运动至右端最远处所需的时间t₁及此时物块距木板右端的距离x为多少？
（3）木板与挡板P会发生多次撞击直至静止，而物块在木板上一直向左运动直至静止，每次木板与挡板P撞击前物块和木板都已相对静止，最后木板静止于挡板P处，木板与物块都静止时物块距木板右端的距离x_n为多少？

Answer 1

分析 （1）木板受最大静摩擦力产生的加速度和以整体为研究对象在拉力F作用下产生的加速度比较，确定木板做匀加速运动的加速度，然后根据速度位移关系求物体到达P点时的速度；
（2）分析木板的受力，根据牛顿第二定律，求木板匀减速运动的加速度，再根据速度时间关系求木板运动的时间，再根据时间求位移；
（3）在全过程中只有拉力和木板与物块的摩擦力做功，根据动能定理求出物块相对于木板时的距离x_n．

解答 解：（1）设木板靠最大静摩擦力产生的加速度为a_m，则：
a_m=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.4×3×10}{2}$=6m/s²                            
若木板与物块不发生相对运动，设共同加速度为a₁，则：
a₁=$\frac{F}{M+m}$=$\frac{6}{2+3}$=1.2m/s²       　 　 　 　 　 　 
因a₁＜a_m，所以木板与物块靠静摩擦力一起以加速度a₁运动．       
根据匀变速直线运动的速度位移关系：v²=2a₁L                                   
解得木板第一次撞击挡板P时的速度：v=$\sqrt{2{a}_{1}L}$=$\sqrt{2×1.2×2.4}$=2.4m/s                                  
（2）设木板第一次撞击挡板P后向右运动时，物块的加速度大小为a₂，根据牛顿第二定律有：
  μmg-F=ma₂                               
解得物块的加速度：a₂=μg-$\frac{F}{m}$=4-$\frac{6}{3}$=2m/s²                                
因a₂＜a_m，所以在木板向右减速运动过程中，物块一直向左减速，木板速度减为0时，木块仍在向左运动．设木板第一次撞击挡板P后运动到右端最远处所需时间为t₁，则：
 t₁=$\frac{v}{{a}_{m}}$=$\frac{2.4}{6}$=0.4s                                
设木板左端距挡板P的距离为x₁，则：x₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{m}}$=0.48m                         
设物块相对地向左的位移为x₂，则：x₂=vt₁-$\frac{1}{2}$a₂t₁²=2.4×0.4-$\frac{1}{2}$×2×0.4²=0.8m                   　 
此时物块距木板右端的距离为：x=x₁+x₂=1.28m 
（3）木板最终静止于挡板P处，设物块距木板右端的距离为X_n，此过程中只有拉力和摩擦力做功，根据动能定理有：F（x_n+L）-μmgx_n=0 
代入得：6×（x_n+2.4）-0.4×30×x_n=0 
解得：x_n=2.4m        
答：（1）木板第一次撞击挡板P时的速度v为2.4m/s；
（2）木板从第一次撞击挡板P到运动至有端最远处所需的时间t₁及此时物块距木板右端的距离x为1.28m；
（3）木板与挡板P会发生多次撞击直至静止，而物块一直向左运动．每次木板与挡板p撞击前物块和木板都已相对静止，最后木板静止于挡板P处，求木板与物块都静止时物块距木板有端的距离x_n为2.4m．

点评 处理本题的关键是用隔离法对物块和木板进行受力分析，由牛顿第二定律求出各自的加速度，再运用运动学规律求解．正确的受力分析和做功分析是解决本题的关键