直线与平面平行

1. 直线平面的位置关系：

(1)，直线在平面内，有无数个公共点，

(2)，直线与平面相交，只有一个公共点。

(3)，直线与平面平行，无公共点。

2. 直线与平面平行的判定定理：

　　

3. 直线与平面平行的性质定理：

　

[典型例题]

[例1] ，，，求证：。

证：过作

　　 ∴

　　 过作

　　 ∴

∴

[例2] 、异面，求证过与平行的平面有且仅有一个。

证：存在性，过上一点作直线

　　 确立平面

　　 ∴

　　 唯一性，假设存在，，

∴ ，，

由例1

∴ 与已知矛盾

∴ 只有一个

[例3] 为空间一点，、异面，过作与、均平行的平面可作个。

个或个，过存在平面，。

　　　　　 过存在平面，。

① 或　　　 个

② 且　　　 个

可用反证法证明只有一个。

[例4] 正方形交正方形于，、在对角线、上，且，求证：平面。

证：过作交于

　　 过作交于

　　 ，

又∵ 　

面

[例5] 如图，异面直线、，，，为中点，，，，，，，求：为中点。

证：连交于，连、

　　

　　

　　

　　

　　 ∴

[例6] 三个平面两两相交不共线，求证三条直线交于一点或两两平行。

证：设，，

　　 ∴ 、

　　 (1)若

　　　　

　　 (2)若

∴ 、、交于一点

[例7] 为　 所在平面外一点，，，且，求证：面。

证：连交于，连，

∴ ∽

∴

在中，

∴ 面

[例8] 、异面直线，为空间任一点，过作直线与、均相交，这样的直线可以作多少条。

解：，或无数。

　　 过存在唯一个平面

　　 过存在唯一个平面

　　 ① 若或，有无数条

② 若或，且且

　 直线不存在

③ 且，有且只有一条。

　 ，过、作平面

　 ∴

∴

连与相交

∴ 存在与、均相交

假设有两条过的直线、与、均相交

，确立平面

与、各有一个交点

∴

同理，与、异面矛盾

∴ 假设不成立

∴ 只有一条

[例9] 、、两两异面，空间与、、，均相交的直线有多少条？

证：存在，，，

　　 存在，，

　　 与、异面，中有无数个点在、外

　　 每一个点可作一条线与、均相交

　　　　 ∴ 无数条

[模拟试题]

1. 若，，则下列说法正确的是(　　 )

A.　　 A.　　　 过在平面内可作无数条直线与平行

B. 过在平面内仅可作一条直线与平行

C. 过在平面内可作两条直线与平行

D. 与的位置有关

2. ，，则与的关系为(　　 )

　　 A. 必相交　　　　 B. 必平行　　　 C. 必在内　　　 D. 以上均有可能

3. ，过作与平行的直线可作(　　 )

　　 A. 不存在　　　　 B. 一条　　　　 C. 四条　　　　 D. 无数条

4. ，、，，，则有(　　 )

A. 　　　　　　　　　　　　　B. 　　　　

C. 、共面　　　　　　　　　　 D. 、异面，所成角不确定

5. 下列四个命题

(1)，

(2)，

(3)，

(4)，

正确有(　　 )个

　　 A. 　　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D.