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3. 直线与平面平行的性质定理:
[典型例题]
[例1] ,,,求证:。
证:过作
∴
过作
∴
∴
[例2] 、异面,求证过与平行的平面有且仅有一个。
证:存在性,过上一点作直线
确立平面
∴
唯一性,假设存在,,
∴ ,,
由例1
∴ 与已知矛盾
∴ 只有一个
[例3] 为空间一点,、异面,过作与、均平行的平面可作个。
个或个,过存在平面,。
过存在平面,。
① 或 个
② 且 个
可用反证法证明只有一个。
[例4] 正方形交正方形于,、在对角线、上,且,求证:平面。
证:过作交于
过作交于
,
又∵
面
[例5] 如图,异面直线、,,,为中点,,,,,,,求:为中点。
证:连交于,连、
∴
[例6] 三个平面两两相交不共线,求证三条直线交于一点或两两平行。
证:设,,
∴ 、
(1)若
(2)若
∴ 、、交于一点
[例7] 为 所在平面外一点,,,且,求证:面。
证:连交于,连,
∴ ∽
∴
在中,
∴ 面
[例8] 、异面直线,为空间任一点,过作直线与、均相交,这样的直线可以作多少条。
解:,或无数。
过存在唯一个平面
过存在唯一个平面
① 若或,有无数条
② 若或,且且
直线不存在
③ 且,有且只有一条。
,过、作平面
∴
∴
连与相交
∴ 存在与、均相交
假设有两条过的直线、与、均相交
,确立平面
与、各有一个交点
∴
同理,与、异面矛盾
∴ 假设不成立
∴ 只有一条
[例9] 、、两两异面,空间与、、,均相交的直线有多少条?
证:存在,,,
存在,,
与、异面,中有无数个点在、外
每一个点可作一条线与、均相交
∴ 无数条
[模拟试题]
[试题答案]
1. B 2. A 3. D 4. B 5. A