直线与平面垂直

1. 垂直判定

(1)任取

(2)

(3)

2. 垂直性质

(1)

(2)过空间一点作定直线的垂面有且仅有一个

(3)过空间一点作定平面的垂线有且仅有一条

3. 三垂线定理及其逆定理

为的一斜线，为在内射影

则：

[重点、难点分析]

1. 以AB为直径的圆在平面内PA⊥于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。

2. 四面体的四个面可否均为直角三角形

例1所示为所求。

3. 四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，试判断的形状。

　　 设 、、

　　

　　　　　　　

　　　　　　　

为锐角，同理为锐角。

P在底面射影为垂心。

4. 四面体P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB。

证：过P作PQ⊥面ABC于Q。

　　

　　

　

同理A、B、C在对面射影也均为垂心。

5. 如图，直角BAC在外，，，求证：在内射影为直角。

证：如图所示，、

　　 为射影

　　 确定平面

　　

　　

6. 求证两条异面直线的公垂线有且只有一个。

证：存在性

　　 过作平面，使、。

　　 E为上一点，过E作于。

　　 确定平面

设

过A作AB//EF交于B　 ∴ AB为公垂线

唯一性 ，假定存在CD为异面直线公垂线。

∴ A、B、C、D共面共面与已知矛盾。

∴ 假设不成立　 ∴ 公垂线有且仅有一条。

7. 求证：四个角是直角的四边形为矩形。

证：四边形ABCD四个角均为。

(1)若ABCD四点共面，显然ABCD为矩形。

(2)假设AB、CD为异面直线。

　　 ∴ AD、BC为AB、CD的公垂线，与两条异面直线的公垂线有且仅有一条矛盾。

　　 ∴ 假设不成立　 ∴ ABCD四点共面。

　　 ∴ ABCD为矩形

[模拟试题]

1. 下面结论有(　　 )个正确的。

(1)过空间一点作与已知直线平行的平面有且仅有一个

(2)过空间一点作与已知直线垂直的平面有且仅有一个

(3)过空间一点作与已知平面平行的直线有且仅有一条

(4)过空间一点作与已知平面垂直的直线有且仅有一条

A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4

2. 已知直线、、，平面、，下列结论正确的是(　　 )

A. 　　　　B.

C. 　　D.

3. 三条直线两两垂直，则下列结论正确的是(　　 )

(1)三线必交于一点

(2)其中必有两条异面

(3)三条线不可能在同一个平面内

(4)其中必有两条直线在一个平面内

　　 A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4