[例1] (07年广东)已知函数
的定义域为M，g(x)=
的定义域为N，则M∩N=
(A)
(B)
(C)
(D)
[解析] M={x|x<1},N={x|x>-1},M∩N={x|-1<x<1}.答案为C.
[说明] 考查了函数的定义域.
[例2] (07年全国)设
，函数
在区间
上的最大值与最小值之差为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
[解析] 
.答案为D.
[说明] 对数函数的最值问题.
[例3](07年安徽)下列函数中，反函数是其自身的函数为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
[解析]在下列函数中，反函数是其自身的函数为，选D.
[说明] 考查了反函数的求法.
[例4] (07年安徽)定义在R上的函数
既是奇函数，又是周期函数，
是它的一个正周期.若将方程
在闭区间
上的根的个数记为
，则可能为
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
[解析]
，
，
∴
，则可能为5，选D。
[说明] 此题有函数的奇偶性，周期性，还和方程的根联系在一起.有一定的综合性.
[例5](07年北京)对于函数①f(x)=lg(|x-2|+1),②f(x)=(x-2)2,③f(x)=cos(x+2),判断如下三个命题的真假：
命题甲：f(x+2)是偶函数；
命题乙：f(x)在(-∞，2)上是减函数，在(2，+∞)上是增函数；
命题丙：f(x+2)-f(x)在(-∞，+∞)上是增函数.
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是
A．①③ B.①②
C.③ D.②
[解析] ①不满足丙，排除A、B.③不满足甲，C排除.
答案为D.
[说明] 三个函数综合在一块考查了它们性质，可谓是题小量不小啊.
[例6](07年广东)客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是 ( )
|
|
|
|
[解析] 客车共走140 km,用时2.5 h，因此排除A、D，而B中在乙地休息时没有显示出来.答案为C.
[说明] 此题以图象说明路程-时间的关系，只要图看仔细了，应该不会出错.属于低难度题.
[例7](07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行
消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药
量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，
y与t的函数关系式为
(a为常数)，
如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)从药物释放开始，每立方米空气中的含
药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式
为 .
(Ⅱ)据测定，当空气中每立方米的含药量降低
到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放
开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
[分析](Ⅰ)两曲线交于点(0.1，1)，故t∈(0，0.1]时，y=10t；t∈[0.1，+∞)时，将(0.1，1)代入，得
故所求函数关系为：
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：当t∈[0.1，+∞)时，y为t的减函数.
令
.即
小时，也就是36分钟后，学生才能回到教室.
[说明] 此题考查了数学建模在实际问题上的应用.有一定的区分度.
[例8]
(07年北京) 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长
为
，短半轴长为
，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下
底
是半椭圆的短轴，上底
的端点在椭圆上，记
，梯形面积为
．
(I)求面积以
为自变量的函数式，并写出其定义域；
(II)求面积的最大值．
[解答](I)依题意，以的中点
为原点建立直角坐标系
(如图)，则点
的横坐标为．点的纵坐标
满足方程
，
解得，
，
所以，
，定义域为
．
(II)记
，
则，
．
令
，得
．
因为当
时，
；当
时，
，
所以
是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为
．
即梯形面积的最大值为
．
[说明] 该题以椭圆为载体，以函数思想为灵魂，以不等式、导数、三角函数等为工具，非常自然地将解析几何与导数、函数、方程、不等式、三角函数等重要数学基础知识有机交汇融为一体，无矫揉造作之嫌，是近年来较为成功的试题之一．
[例9] (07年上海) 已知函数
，常数
．
(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数在
上为增函数，求
的取值范围．
[解答] (1)当
时，
，
对任意
，
，
为偶函数．
当
时，
，
取
，得
，
，
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)解法一：设
，
，
要使函数在上为增函数，必须
恒成立．
，即
恒成立．
又
，
．
的取值范围是
．
解法二：当时，，显然在
为增函数．
当
时，反比例函数
在为增函数，
在为增函数．
当
时，同解法一．
[说明] 本题考查了函数的性质问题，尤其是单调性的定义法证明更要引起注意.