3.(石庄中学)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点,且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN,求: (1) ;
(2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小;
(3) 平面ANM与平面ABCD所成角(锐角)的大小.
解:(1) 以A为原点,AB、AD、AA1所在直线
为x轴,y轴,z轴.
则D(0,8,0),A1 (0,0,4),M(5,2,4)
)
∵ ∴
(2) 由(1)知A1D⊥AM,又由已知A1D⊥AN,平面AMN,垂足为N.
因此AD与平面所成的角即是
易知
(3) ∵平面ABCD,A1N平面AMN,
∴分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。
设平面AMN与平面ABCD所成的角(锐角)为,则