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8.(北京卷)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:(Ⅰ)的值; (Ⅱ)的值.
解析:解法一: (Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.
(Ⅱ)由
得解得
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设又
所以
由,即得, 所以. 9.(湖南卷)已知函数. (I)讨论函数的单调性; (Ⅱ)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围.
解 (Ⅰ)由题设知.令.
当(i)a>0时,
若,则,所以在区间上是增函数;
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是增函数;
(i i)当a<0时,
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是减函数;
若,则,所以在区间上是增函数;
若,则,所以在区间上是减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值,且函数在处分别是取得极值,.
因为线段AB与x轴有公共点,所以.即
.所以. 故.
解得 -1≤a<0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1,0)∪[3,4].