1.已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. 　 (Ⅰ)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； 　 (Ⅱ)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分. 解：本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分 　 (Ⅰ)解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,x+2x1)的切线方程是：

函数y=－x2+a的导数y′=－2x, 曲线C2 在点Q(x2,－x+a)的切线方程是

如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程， 消去x2得方程　 2x+2x2+1+a=0. 若判别式△=4－4×2(1+a)=0时，即a=－时解得x1=－，此时点P与Q重合. 即当a=－时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为　 y=x－　. 　 (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知.当a<－时C1和C2有两条公切线 设一条公切线上切点为：P(x1,y1), 　 Q(x2 , y2 ). 其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=－1, y1+y2=x+2x1+(－x+a)= x+2x1－(x1+1)2+a=－1+a . 线段PQ的中点为同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是 所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.2．已知f(x)=x2+ax+b, g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且，f(5)=30,则求g(4)。 解：　 　 ∵f(2x+1)=4g(x)　 　∴　 　∴　 又 f(5)=30=25+10+b　 ∴b=-5　 d=　 　∴g(x)=x2+2x　 　∴g(4)=

3．已知向量=(1，0)，=(0，1)，函数的图象在轴上的截距为1，在=2处切线的方向向量为，并且函数当时取得极值。 (1)求的解析式；(2)求的单调递增区间；(3)求的极值。

4.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数　(Ⅰ)求的极值. (Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点. 解：(I)=3－2－1　　 若=0，则==－，=1 当变化时，，变化情况如下表： (－∞，－) － (－，1) 1 (1，+∞) + 0 － 0 + 极大值 极小值 ∴的极大值是，极小值是 (II)函数，由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知： 当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。 当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。

7.(安徽卷)设函数，已知是奇函数。 (Ⅰ)求、的值。(Ⅱ)求的单调区间与极值。 解析：(Ⅰ)∵，∴。 从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间； 在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。

8．(北京卷)已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：(Ⅰ)的值； (Ⅱ)的值. 解析：解法一： (Ⅰ)由图象可知，在(－∞，1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以. (Ⅱ)由 得解得 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设又 所以　 由,即得,　 所以. 9．(湖南卷)已知函数.　　 (I)讨论函数的单调性；　　　 (Ⅱ)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围. 解　(Ⅰ)由题设知.令. 当(i)a>0时， 若，则，所以在区间上是增函数； 若，则，所以在区间上是减函数； 若，则，所以在区间上是增函数； (i i)当a＜0时， 若，则，所以在区间上是减函数； 若，则，所以在区间上是减函数； 若，则，所以在区间上是增函数； 若，则，所以在区间上是减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，. 因为线段AB与x轴有公共点，所以.即 .所以. 故. 解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].

10．(全国卷I)设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。 解:f'(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式△=4a2－12a2+12=12－8a2. (ⅰ)若△=0,即a=±,当x∈(－∞,),或x∈(,+∞)时, f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数.所以a=±. (ⅱ)若△=12－8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数, 所以a2>,即a∈(－∞,－)∪(,+∞) (ⅲ)若△12－8a2>0,即－<a<,令f'(x)=0,解得x1=,x2=. 当x∈(－∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a< 由x2≤1得≤3－a,解得－<a<,从而a∈[1,) 综上,a的取值范围为(－∞,－]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(－∞,－]∪[1,∞).

11．(全国II)设函数f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围． 解法一：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax， 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x+1)+1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，　　 ……5分 (i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，+∞)上是增函数， 又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)， 即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．……9分 (ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数， 又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立． 综上，a的取值范围是(－∞，1]．　　 ……12分 解法二：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立 即为g(x)≥g(0)成立．　……3分 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x+1)+1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，　　 　……6分 当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数， 当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，　　 ……9分 所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．