10.(全国卷I)设为实数,函数在和都是增函数,求的取值范围。
解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1),其判别式△=4a2-12a2+12=12-8a2.
(ⅰ)若△=0,即a=±,当x∈(-∞,),或x∈(,+∞)时,
f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数.所以a=±.
(ⅱ)若△=12-8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数,
所以a2>,即a∈(-∞,-)∪(,+∞)
(ⅲ)若△12-8a2>0,即-<a<,令f'(x)=0,解得x1=,x2=.
当x∈(-∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a<
由x2≤1得≤3-a,解得-<a<,从而a∈[1,)
综上,a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(-∞,-]∪[1,∞).