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16.(人教版84页B组第5题)
试着举几个满足“对定义域内任意实数,,都有”的函数例子.
变式1:设函数f(x)的定义域是N*,且,,则f(25)= ___________________.
解析:由
∴
同理,f(3)-f(2)=3.
……
f(25)-f(24)=25.
∴f(25)=1+2+3+…+25=325.
答案:325
变式2:设是定义在R上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,都有
(1)设,求
(2)证明是周期函数.
(1)解:由知, x∈[0,1].
因为f(1)=f().f()=[f()]2,及f(1)=2,所以f()=2.
因为f()=f().f()=[f()]2,及f()=2,所以f()=2.
(2)证明:依题设关于直线x=1对称,故f(x)=f(1+1-x)f(x)=f(2-x),x∈R.
又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R,所以f(-x)=f(2-x),x∈R.将上式中-x以x代换,得f(x)=f(x+2),x∈R.
这表明是R上的周期函数,且2是它的一个周期.
变式3:设函数定义在R上,对任意实数m、n,恒有且当
(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2)求证:f(x)在R上递减;
(3)设集合A={(x,y)|f(x2).f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,
a∈R},若A∩B=,求a的取值范围.
(1)证明:在f(m+n)=f(m)f(n)中,
令m=1,n=0,得f(1)=f(1)f(0).
∵0<f(1)<1,∴f(0)=1.
设x<0,则-x>0.令m=x,n=-x,代入条件式有f(0)=f(x).f(-x),而f(0)=1,
∴f(x)=>1.
(2)证明:设x1<x2,则x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1.
令m=x1,m+n=x2,则n=x2-x1,代入条件式,得f(x2)=f(x1).f(x2-x1),
即0<<1.∴f(x2)<f(x1).
∴f(x)在R上单调递减.
(3) 解:由
又由(2)知f(x)为R上的减函数,∴点集A表示圆的内部.由f(ax-y+2)=1得ax-y+2=0点集B表示直线ax-y+2=0.
∵A∩B=,∴直线ax-y+2=0与圆相离或相切。
于是
设计意图:考察抽象函数的性质及抽象运算的能力和数形结合的思想。