8．(人教版43页B组第3题) 已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断. 变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. 　　　　　B. 　　 　C. 　　　　　　D. 解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A. 变式2：函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 (　 ) A.　 B.　　 C.　　 D.或 解：当时，∵函数是R上的偶函数，且在上是增函数，∴在上是减函数，所以若，则，当时，函数是R上的偶函数，且在上是增函数，且，∴，故选D 设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系

9．(人教版第49页B组第4题) 已知函数，求，，的值 变式1：设则__________ 解：. 变式2：已知是上的减函数，那么的取值范围是 A.　　　　　　　　　　　　　　　 B. C.　　　　　　　　　　　　　　 D. 解：分段函数的单调性需分段处理.答案选C 变式3：设函数f(x)=　 　则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 A.(－∞，－2］∪［0，10］　　　　　　　　　　　　　 B.(－∞，－2］∪［0，1］ C.(－∞，－2］∪［1，10］　　　　　　　　　　　　　 D.［－2，0］∪［1，10］ 解：当x＜1时，f(x)≥1(x+1)2≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1. 当x≥1时，f(x)≥14－≥1≤31≤x≤10. 综上，知x≤－2或0≤x≤10. 答案：A 设计意图：考察分段函数的概念和性质

10．(北师大版54页A组第5题) 对于下列函数，试求它们在指定区间上的最大值或最小值，并指出这时的值 (2)， 变式1：函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则的值为( ) A．　　　 B.2　 　　C.4　　　　 D. 解：当或时，函数都是定义域上的单调函数， ∴，故选C. 变式2：若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为( ) A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　 D． 解：∵，∴是定义域上的减函数，所以，，∴，故选A 设计意图：考察函数的最值

11.(人教版65页第8题) 已知下列等式，比较，的大小 (1)　　 (2) 变式1：设，那么　 (　　 ) A.a＜a＜b　　　　　　　　　　　　　 B.a＜ b＜a C.a＜a＜b　　　　　　　　　　　　　 D.a＜b＜a 解：由，在A和B中，在定义域内是单调递减的，∴，所以结论不成立.在C中，在内是单调递增的，又，所以答案为C. 变式2：已知，则　 (　 ) A．　　　　 B.　 B.　　　　　 D. 解：由已知，因为在定义域内是单调递增的，所以 答案为A. 变式3：已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是(　) 　　 A．　　 　 B．　　 　C．　　　　 D．　 分析：本题根据反函数的定义求出的解析式，再用换元法判断的单调性，结合条件在区间上是增函数，求出实数的取值范围是，答案为D　 设计意图：考察指、对数函数的单调性

12．(人教版48页A组第8题) 设，求证：(1)　 (2) 变式1：函数对于任意实数满足条件，若则__________. 解：，，又 ，∴， ∴ 变式2：若奇函数满足，则　　 解：由已知，令，则，又∵是奇函数，所以， ∴，∴ 变式3：函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于 A.　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　 D. 解析：由题知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　① 以代，①式得，即　 　② ①+②得 答案：A 设计意图：考察函数的抽象运算与综合性质

15．(北师大版第66页B组第3题) 求二次函数在区间[0，1]上的最小值的表达式. 变式1：设a为实数，记函数的最大值为g(a). 　(Ⅰ)设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) (Ⅱ)求g(a) (Ⅲ)试求满足的所有实数a 解：(I)∵， ∴要使有意义，必须且，即 ∵，且……①　　 ∴的取值范围是。 由①得：，∴，。 (II)由题意知即为函数，的最大值， ∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： (1)当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段， 由知在上单调递增，故； (2)当时，，，有=2； (3)当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段， 若即时，， 若即时，， 若即时，。 综上所述，有=。 (III)当时，； 　　　 当时，，，∴， ，故当时，； 当时，，由知：，故； 当时，，故或，从而有或， 要使，必须有，，即， 此时，。 综上所述，满足的所有实数a为：或。 设计意图：考察二次函数的最值与分类讨论的思想

16．(人教版84页B组第5题) 试着举几个满足“对定义域内任意实数，，都有”的函数例子. 变式1：设函数f(x)的定义域是N*，且，，则f(25)= ___________________. 解析：由 ∴ 同理，f(3)－f(2)=3. …… f(25)－f(24)=25. ∴f(25)=1+2+3+…+25=325. 答案：325 变式2：设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有 (1)设，求　 (2)证明是周期函数. (1)解：由知， x∈［0，1］. 因为f(1)=f().f()=［f()］2，及f(1)=2，所以f()=2. 因为f()=f().f()=［f()］2，及f()=2，所以f()=2. (2)证明：依题设关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x)f(x)=f(2－x)，x∈R. 又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x)，x∈R，所以f(－x)=f(2－x)，x∈R.将上式中－x以x代换，得f(x)=f(x+2)，x∈R. 这表明是R上的周期函数，且2是它的一个周期. 变式3：设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当 (1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1； (2)求证：f(x)在R上递减； (3)设集合A={(x，y)|f(x2).f(y2)＞f(1)}，B={(x，y)|f(ax－y+2)=1， a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围. (1)证明：在f(m+n)=f(m)f(n)中， 令m=1，n=0，得f(1)=f(1)f(0). ∵0＜f(1)＜1，∴f(0)=1. 设x＜0，则－x＞0.令m=x，n=－x，代入条件式有f(0)=f(x).f(－x)，而f(0)=1， ∴f(x)=＞1. (2)证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0，∴0＜f(x2－x1)＜1. 令m=x1，m+n=x2，则n=x2－x1，代入条件式，得f(x2)=f(x1).f(x2－x1)， 即0＜＜1.∴f(x2)＜f(x1). ∴f(x)在R上单调递减. (3)　　　 解：由 又由(2)知f(x)为R上的减函数，∴点集A表示圆的内部.由f(ax－y+2)=1得ax－y+2=0点集B表示直线ax－y+2=0. ∵A∩B=，∴直线ax－y+2=0与圆相离或相切。 于是 设计意图：考察抽象函数的性质及抽象运算的能力和数形结合的思想。