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2009年重庆一中高2009级5月月考
数 学(文科)试 题 卷 2009.5
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 如果,那么正确的结论是( )
A. B. C.{0} D.
2.等于( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量,则向量( )
A. B. C. D.
4.设映射是实数集到实数集的映射,若对于实数,在中不存在原象,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在数列中,若,且,则( )
A.2007 B.
6.要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组,如果按性别依比例分层随机抽样,则组成此课外兴趣小组的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数 (是自然对数的底数)的反函数为,则有( )
A. B.
C. D.
8.半径为1的球面上有三点A、B、C,其中A与B、C两点间的球面距离均为,B、C两点间的球面距离为,则球心到平面ABC的距离为( )
A. B. C. D.
9.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )
(A)(,4) (B)(-4,4] (C)( ,-4)∪[2,) (D)[-4,2)
10.已知,若方程的两个实数根可以
分别作为一个椭圆和双曲线的离心率,则( )
A. B. C. D.
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.的常数项是 (用数字作答).
12.在中,,,所对的边分别是,,,已知,则 .
13.已知实数满足条件,则的最大值为 ;
14.以椭圆两焦点为直径的端点的圆交椭圆于四个不同点,顺次连结这四个点和两个焦点,恰好围成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率等于 ;
15.已知函数为偶函数,且满足不等式,则的值为 .
三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本题满分13分) 已知函数.
(Ⅰ)求函数的周期和最大值;
(Ⅱ)已知,求的值.
17.(本题满分13分)
(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率.
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率.
18.(本题满分13分)如图,已知正三棱柱的各棱长都为,为棱上
的动点.
(Ⅰ)当时,求证:;
(Ⅱ) 若,求二面角的大小.
19.(本题满分12分)已知函数,函数的图像在点的切线方程是.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若函数在区间上是单调函数,求实数的取值范围.
20.(本题满分12分)过轴上动点引抛物线的两条切线、,、为切点.
(Ⅰ)若切线,的斜率分别为和,求证:为定值,并求出定值;
(Ⅱ) 求证:直线恒过定点,并求出定点坐标;
(Ⅲ)当最小时,求的值.
21.(本题满分12分)已知数列中,,,其前项和满足,令.
(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令,求证:
①对于任意正整数,都有. ②对于任意的,均存在,使得时,.
2009年重庆一中高2009级5月月考
数学(文科)试题卷答案 2009.5
一、CDDBC;ACBBA.
三.解答题:
16. 解:解:(Ⅰ)
=.∴周期为, 最大值为6 ;
(Ⅱ)由,得.
∴. ∴,
, ∴.
17.解:记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、,则,且有,即
∴(2)由(1),.
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为:
18. 解(1)当时,取的中点,连接,因为为正三角形,则,由于为的中点时,∵平面,∴平面,
∴.
(2)当时,过作于,如图所示,则底面,过作于,连结,则,为二面角的平面角,又,又,,
二面角的大小为.
19. 解:(Ⅰ),在点处的切线
即,故与表示同一条直线,
,即,,.
(Ⅱ) 由于,
则或,所以函数的单调区间是
故或或或或,或或,.
20. 解:(Ⅰ)设过与抛物线的相切的直线的斜率是,则该切线的方程为:,由得
,是方程的解,故
(Ⅱ)设由于,故切线的方程是:,又由于点在上,则
则,
,同理
则直线的方程是,则直线过定点.
(Ⅲ)要使最小,就是使得到直线的距离最小,
而到直线的距离,当且仅当即时取等号. 设
由得,则
.
21. 解:(Ⅰ)由题意知即
检验知时,结论也成立故.
① 由于
②若,其中,则有,则,
故,
取(其中表示不超过的最大整数),则当时,. 即到平面的距离为.
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