秘密★启用前
重庆一中高2009级高三下期5月月考
数 学(理科)试 题 卷 2009.5
数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷(选择题,共分)
一、选择题:(本大题 10个小题,每小题5分,共50分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。
1.已知( )
A. B. C. D.
2.我市某中学高一年级有学生1200人,高二年级有学生900人,高三年级有学生
1500人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为720的样本进行某项调查,则高
二年级应抽取的学生数为( )
A.180
B.
3.曲线在区间上截直线与所得的
弦长相等且不为,则下列描述中正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知,则下列函数的图象错误的是( )
5.下列四个条件中,是的必要不充分条件的是( )
A., B.,
C.为双曲线, D.,
6.设是的展开式中的一次项的系数,则
的值是( )
A.17 B.
7.设两地位于北纬的纬线上,且两地的经度差为,若地球的半径为千
米,且时速为20千米的轮船从地到地最少需要小时,则为( )
A. B. C. D.
8.已知圆,点,动点在圆上,则的最大值为( )A. B. C. D.
9.已知为定义在上的可导奇函数,且(其中是的导函数)对于恒成立,则的解集为( )
A. B. C. D.
10.抛物线过焦点的弦,过该弦端点的两条切线的交点为
,则的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共分)
卡相应位置上,只填结果,不要过程)。
二、填空题:(本大题5个小题,每小题5分,共25分)各题答案必须填写在答题
11.在等比数列中,且,则___________。
12.已知函数在上连续,则_________________。
13.三棱锥中,平面,,为
中点,为中点,则点到直线的距离等于________________。
14.在同一平面内,已知,且。若
,则的面积等于________________。
15.有机化学中一烷烃起始物的分子结构式是,将其中的所有氢原子用甲基取代得到:,再将其中的12个氢原子全部用甲基代换,如此循环以至无穷,球形烷烃分子由小到大成一系列,则在这个系列中,由小到大第个分子中含有的碳原子的个数是____________________。
定的方框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)。
三、解答题:(本大题6个小题,共75分)各题解答必须答在答题卷上相应题目指
16.(13分)在中,已知,。
(1)求;
(2)求证:。
17.(13分)设点是区域内的随机整点(整点是指横、纵坐标都
为整数的点)。
(1)已知关于的一元二次函数,求函数上是增函数的概率;
(2)设区域内的随机整点的横、纵坐标之和构成随机变量,求的分布列与期望。
18.(13分)如图,已知平行四边形和矩形所在的平面互相垂直,,是线段
的中点。
(1)求证:;
(2)求二面角的大小;
(3)设点为一动点,若点从出发,
沿棱按照的路线运动到
点,求这一过程中形成的三棱锥
的体积的最小值。
19.(12分)若存在实常数和,使得函数和对其定义域上的任意实数
分别满足:和,则称直线为和的“分
界直线”,已知(其中为自然对数的底数)。
(1)求的极值;
(2)函数和是否存在分界直线?若存在,求出此分界直线方程;若不存在,请说明理由。
20.(12分)已知圆交轴于两点,
曲线是以为长轴,直线为准线的椭圆。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是直线上的任意一点,以为直径的圆
与圆相交于两点,求证:直线必过
定点,并求出点的坐标;
(3)如图所示,在(2)的条件下,若直线与椭圆
交于两点。试问在轴上是否存在定点,
使恒为定值?若存在,求出点的坐标及
实数的值;若不存在,请说明理由。
21.(12分)设数列。
(1)求证:;
1.C 2.A 3.A 4.D 5. D 6.B 7. B 8. A 9. B 10.D
11. 12. 2 13. 14. 15.
16.解:(1)∵,∴,
∵,∴, 即边的长度为。
(2)由,得…………①
,即…………②
由①②得,由正弦定理,∴,即证。
17. 解:(1)∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数,当且仅当且。
依条件可知试验的全部结果为,即
共15个整点。
所求事件为,即共5个整点,∴所求事件
的概率为。
(2)随机变量的取值有:2,3,4,5,6。的随机分布列为:
2
3
4
5
6
随机变量的期望。
18.解法一:(1)易求,从而,由三垂线定理知:。
(2)法一:易求由勾股定理知,设点在面内的射影为,过作于,连结,则为二面角的平面角。在中由面积法易求,由体积法求得点到面的距离是
,所以,所以求二面角的大小为。
法二:易求由勾股定理知,过作于,又过作交于,连结。则易证为二面角的平面角。在中由面积法易求,从而于是,所以
,在中由余弦定理求得。再在中由余弦定理求得。最后在中由余弦定理求得,所以求二面角的大小为。
(3)设AC与BD交于O,则OF//CM,所以CM//平面FBD,当P点在M或C时,三棱锥P―BFD的体积的最小。。
解法二:空间向量解法,略。
19.解:(1)
当时,
当时,此时函数递减;当时,此时函数递增;当时,取极小值,其极小值为0。
(2)由(1)可知函数和的图像在处有公共点,因此若存在和的分界直线,则该直线过这个公共点。设分界直线的斜率为则直线方程为即由可得当时恒成立
由得。
下面证明当时恒成立。
令则
当时,。当时,此时函数递增;当时,此时函数递减;当时,取极大值,其极大值为0。
从而即恒成立。
函数和存在唯一的分界直线。
20.解:(1)设椭圆的标准方程为,则:
,从而:,故,所以椭圆的标准方程为。
(2)设,则圆方程为,与圆联立消去得的方程为,过定点。
(3)将与椭圆方程联立成方程组消去得:
,设,则。
,
所以。
故存在定点,使恒为定值。
21.解:(1)法一:数学归纳法;
法二:
所以为首项为公比为2的等比数列,
,即证。
法三:,两边同除以,转化为叠加法求数列通项类型。
(2)法一:容易证明单调递增,。由函数割线斜率与中点切线斜率的关系想到先证,即证,即证
。令下证。事实上,构造函数,则
,,所以在上单调递增,故,则,即证。
于是由有,
(因为)。
法二:要证,即证
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