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    2004年普通高等学校招生全国统一考试

    数学（理工类 湖南卷）

     

    第Ⅰ卷（选择题  共60分）

     

    一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.

    （1）复数的值是                                                                                              

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           （A）                  （B）－               （C）4                     （D）－4

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    （2）如果双曲线上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是                      

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           （A）                 （B）13                   （C）5                     （D）

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    （3）设是函数的反函数，若，则

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    的值为                                                                                               

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    （A）1                    （B）2                     （C）3                     （D）

    （4）把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B  C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为                                                                              

    （A）90°               （B）60°               （C）45°               （D）30°

    （5）某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点。公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②。则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是

    （A）分层抽样法，系统抽样法               （B）分层抽样法，简单随机抽样法

           （C）系统抽样法，分层抽样法               （D）简单随机抽样法，分层抽样法

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    （6）设函数则关于x的方程

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    解的个数为                                                                                       

    （A）1                    （B）2                     （C）3                     （D）4

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    （7）设则以下不等式中不恒成立的是                                                       （A）   （B）

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           （C）                   （D）

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    （8）数列           （A） （B） （C） （D）

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           （A）                                                               （B）

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           （C）                                                               （D）

    （10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为    （A）56 （B）52 （C）48 （D）40

    （11）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于                           

           （A）4200元~4400元                                                             （B）4400元~4600元

         （C）4600元~4800元                          （D）4800元~5000元

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    （12）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，

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    且则不等式的解集是                 

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    （A）                            （B）

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    （C）                         （D）

     

    第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

     

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    二、填空题：本大题 共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

    （13）已知向量a=，向量b=，则|2a－b|的最大值是             .

    （14）同时抛物线两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面向上，ξ=0表示结果中没有正面向上，则Eξ=             .

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    （15）若的展开式中的常数项为84，则n=                .

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    （16）设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…）使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为            .

    （17）（本小题满分12分）

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    三、解答题：本大题 共6小题，共74分.  解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

    已知的值.

     

                                 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    （18）（本小题满分12分）

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    甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.

    （Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

    （Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    （19）（本小题满分12分）

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    如图，在底面是菱形的四棱锥P―ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.

    （I）证明PA⊥平面ABCD；

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    （II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

    （Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.

     

     

     

     

     

     

    （20）（本小题满分12分）

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    已知函数为自然对数的底数.

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    （Ⅰ）讨论函数的单调性；

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    （Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值.

     

     

     

     

     

     

     

    （21）（本小题满分12分）

    如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.

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    （I）设点P分有向线段所成的比为，证明:；

    （II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

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    （22）（本小题满分14分）

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    如图，直线相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列

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    （Ⅰ）证明；

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    （Ⅱ）求数列的通项公式；

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    （Ⅲ）比较的大小.

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    2004年普通高等学校招生全国统一考试

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    一．选择题

    （1）D      （2）A     （3）B       （4）C       （5）B     （6）C

    （7）B      （8）C     （9）A       （10）C      （11）B    （12）D

    二．填空题

    （13）4   （14）0.75   （15）9    （16）

    三．解答题

    （17）解：由

                                 

    得    又

    于是 

          

    （18）解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.

    ①

    ②

    ③

      由①、③得  代入②得  27[P(C)]2－51P(C)+22=0.

    解得  （舍去）.

    将     分别代入 ③、②  可得 

    即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是

    （Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，

    则 

    故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为

     

    （19）（Ⅰ）证明  因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

    由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

    同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

    （Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，

    由PA⊥平面ABCD.

    知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，

    则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.

    又PE : ED=2 : 1，所以

    从而    

    （Ⅲ）解法一  以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

    所以

    设点F是棱PC上的点，则

           令   得

    解得      即 时，

    亦即，F是PC的中点时，、、共面.

    又  BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.

    解法二  当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，

    由   知E是MD的中点.

    连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

    所以  BM//OE.  ②

    由①、②知，平面BFM//平面AEC.

    又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

    证法二

    因为 

             

    所以  、、共面.

    又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.

    （20）解：（Ⅰ）

    （i）当a=0时，令

    若上单调递增；

    若上单调递减.

    （ii）当a<0时，令

    若上单调递减；

    若上单调递增；

    若上单调递减.

    （Ⅱ）（i）当a=0时，在区间[0，1]上的最大值是

    （ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是.

    （iii）当时，在区间[0，1]上的最大值是

    （21）解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得   

         ①

    设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.

    所以     

    由点P（0，m）分有向线段所成的比为，

    得

    又点Q是点P关于原点的对称点，

    故点Q的坐标是（0，－m），从而.

                   

                   

    所以 

    （Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.

    由   得

    所以抛物线 在点A处切线的斜率为

    设圆C的方程是

    则

    解之得

    所以圆C的方程是 

    即 

    （22）（Ⅰ）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得

    点Qn、Pn+1的坐标分别是：

    由Pn+1在直线l1上，得 

    所以    即 

    （Ⅱ）解：由题设知 又由（Ⅰ）知 ，

    所以数列  是首项为公比为的等比数列.

    从而 

    （Ⅲ）解：由得点P的坐标为（1，1）.

    所以 

       

    （i）当时，>1+9=10.

    而此时 

    （ii）当时，<1+9=10.

    而此时 

     


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