2006年河南省示范性普通高中毕业班教学质量调研考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷（选择题 共60分）
［参考公式］
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 
次的概率
其中R表示球的半径
一、选择题：
（1）若集合
，
，则
＝
A. 
B.
C. 
D.
（2）已知等差数列
，公差为
，且
，若
，则k＝
A. 6 B.
（3）当
时，
的值等于
A. 1 B. －1 C. i D. －i
（4）设a≠0为常数，已知
和
这两个展开式中
的系数相等，则a的值为
A. 
B.
C.
D.
（5）曲线
在点P处的切线斜率为k，当k＝3时的P点坐标为
A. （－2，－8） B. （－1，－1），（1，1）
C. （2，8） D.
（
）
（6）函数
的反函数的解析式为
A. 
B.
C. 
D.
（7）为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象
A. 向右平移
个单位长度 B.
向右平移
个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D.
向左平移个单位长度
（8）函数
的最大值是
A. 
B.
C.
D.
（9）在正方体ABCD―A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，则C1O与A1D所成的角为
A. 60° B.
90° C.
D.
（10）设椭圆
、双曲线
、抛物线
（其中
）的离心率分别为
，则下列结论正确的是
①
②
③
④
⑤
A. ①②⑤ B. ①② C. ②④ D. ③⑤
（11）点O是△ABC所在平面内一点，满足
＝
，则点O是△ABC的
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
（12）函数
的图象关于直线
对称，则导函数
的图象
A. 关于直线对称 B.
关于直线
对称
C. 关于点（1，0）对称 D. 关于点（－1，0）对称
第II卷（非选择题 共90分）
（13）若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为________。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（14）已知x，y满足约束条件
，则
的最小值是________。
（15）已知点
，其中n为正整数。设Sn表示△ABC外接圆的面积，则
＝___________。
（16）对某种产品的6件不同正品和4件不同次品，一一进行测试，到区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有________种。（以数字作答）
（17）（本小题满分12分）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
已知函数
的定义域为R。
（I）当
时，求
的单调增区间；
（II）当
，且
，当
为何值时，为偶函数。
（18）（本小题满分12分）
一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。
（I）求前两次取出的都是二等品的概率；
（II）用随机变量
表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求的分布列及数学期望。
（19）（本小题满分12分）
如图，在直三柱锥ABC―A1B1C1中，∠ACB＝90°，BC＝CC1＝a，AC＝2a。
（I）求证：AB1⊥BC1；
（II）求二面角B―AB1―C的正切值；
（III）求点A1到平面AB1C的距离。
（20）（本小题满分12分）
设函数
，其中
。
（I）求a的范围，使在
上是增函数；
（II）函数在
上能否是增函数？为什么？
（21）（本小题满分14分）
已知
、D三点不在同一直线上，且
，
，
。
（I）求点E轨迹方程；
（II）过F1作直线以F1、F2为焦点的椭圆C于P、Q两点，线段PQ的中点到y轴的距离为，且直线PQ与点E的轨迹相切，求该椭圆的方程；
（III）若该圆C的一个顶点T（0，－2），试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线l，使l与椭圆C交于不同的两点M，N满足
。
（22）（本小题满分12分）
四棱锥S－ABCD的所有棱长均为1米，一只小虫从S点出发沿四棱锥爬行，若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的。设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为Pn。
（I）求P2、P3的值；
（II）求证：
；
（III）求证：
【试题答案】
2006年河南省示范性普通高中毕业班教学质量调研考试
一、选择题
（1）C （2）B （3）D （4）A （5）B
（6）B （7）B （8）D （9）D （10）A
（11）B （12）C
二、填空题
（13）
（14）－6 （15）
（16）576
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（I）当
时，
。
依条件有：
∴
∴
的单调增区间为
6分
（II）设
∴
∴
∴
依条件令
，即
时，为偶函数。 12分
（18）（本小题满分12分）
解：（I）四件产品逐一取出排成一列共有
种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有
种方法，∴前两次取出的产品都是二等品的概率为
； 6分
（II）
的所有可能取值为2，3，4，∴的概率分布为
2
3
4
P
∴
12分
（19）（本小题满分12分）
（I）证明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1。
∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1。
∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影。
∵BC＝CC1，∴四边形B1BCC1是正方形。
∴BC1⊥B1C。根据三垂线定理得
AB1⊥BC1 4分
（II）解：设
，作OP⊥AB1于点P
连结BP，∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，
∴BO⊥平面AB1C
∴OP是BP在平面AB1C上的射影。
根据三垂线定理得AB1⊥BP。
∴∠OPB是二面角B－AB1－C的平面角
∵
在Rt△POB中，
∴二面角B－AB1－C的正切值为
8分
（III）解：解法1：∵A1C1∥AC，AC
平面AB1C，
∴A1C1∥平面AB1C。
∴点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C的距离相等。
∵BC1⊥平面AB1C，
∴线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离
∴点A1到平面AB1C的距离为
a 12分
解法2：连结A1C，有
设点A1到平面AB1C的距离为h。
∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴
?h＝
，
又
∴
，
∴点A1到平面AB1C的距离为
12分
（20）（本小题满分12分）
解：（I）若在[0，
）上是增函数，则
时
恒成立
即
恒成立
∴
故a的取值范围是
6分
（II）若
上是增函数
则
恒成立
即
对所有的
均成立
得
，与题设
矛盾。
∴上不是增函数 12分
（21）（本小题满分14分）
解：（I）设E（x，y），则
由已知得
∴
即为点E的轨迹方程。 4分
（II）设椭圆C的方程为
，过F1的直线为
，P、Q在椭圆C上，
∴
两式相减，得
①
而
，
代入①得
②
由与圆
相切，得
代入②得
，
而
椭圆C的方程为
9分
（III）假设存在直线
，设MN的中点为
由|TM|＝|TN|，∴TP为线段MN的中垂线，其方程为
又设
相减并由
整理得：
又点P（－4k，2）在椭圆的内部
∴
，解之得
，即k不存在
∴不存在直线l满足题设条件。 14分
（22）（本小题满分12分）
解：（I）P2表示从S点到A（或B、C、D），然后再回到S点的概率
所以
；
因为从S点沿SA棱经过B或D，然后再回到S点的概率为
，
所以
4分
（II）设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为Pn，那么
表示爬行n米后恰好没回到S点的概率，则此时小虫必在A（或B、C、D）点
所以
8分
（III）由
从而
所以
12分
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