2009届高考数学第三轮复习精编模拟三
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
第一部分 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、设集合
和
都是自然数集合
，映射
把集合中的元素
映射到集合中的元素
，则在映射
下，象20的原象是 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2、已知
、
均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜＋3|= （ ）
A．
B
C．
D．4
3、向高为
的水瓶中注水，注满为止，如果注水量
与水深
的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 ( )
4、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（ ）
A．（1，
B．（0，
C．[
，
] D．（，
5、原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（ ）
A．不会提高70% B．会高于70%，但不会高于90%
C．不会低于10% D．高于30%，但低于100%
6、已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是（ ）
A．4 B．
7、设a,b是满足ab<0的实数，那么 （ ）
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b|
C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－b|<|a|+|b|
8、棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A、
B、
C、
D、
9、给定四条曲线：①
，②
，③
，④
,其中与直线
仅有一个交点的曲线是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
10、定义函数
，若存在常数C，对任意的
，存在唯一的
，使得
，则称函数
在D上的均值为C。已知
，则函数
上的均值为（ ）
A、
B、
C、
D、10
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．
11、不等式
的解集是______。
12、已知0<t<1，
、
,则
与
的大小关系为______.
13、不论k为何实数，直线
与曲线
恒有交点，则实数a的取值范围是 。
14、(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为
，则直线的极坐标方程为______________.
15．(几何证明选讲选做题) 已知
是半圆
的直径，点
在半圆上，
于点
，且
，设
，则
＝
．
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
设全集
，函数
的定义域为A,函数
的定义域为B
(Ⅰ)求集合
与
；
(Ⅱ)求
、
17．（本小题满分12分）
已知数列{an}、{bn}满足：a1=1，a2=a（a为实数），且
，其中n=1，2，3，…
（Ⅰ）求证：“若数列{an}是等比数列，则数列{bn}也是等比数列”是真命题；
（Ⅱ）写出（Ⅰ）中命题的逆命题；判断它是真命题还是假命题，并说明理由.
18．（本小题满分14分）
在一次考试中共有８道选择题，每道选择题都有４个选项，其中有且只有一个选项是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得５分，不选或选错得０分”．某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断２个选项是错误的，有一道仅能判断１个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：
（１）该考生得40分的概率；
（２）该考生得多少分的可能性最大？
（３）该考生所得分数的数学期望．
19． (本小题满分14分)
已知圆C：
，圆C关于直线
对称，圆心在第二象限，半径为
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知不过原点的直线
与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线的方程。
20． (本小题满分14分)
如图，已知正方体
的棱长为2，E、F分别是
、
的中点，过
、E、F作平面
交
于G..
（Ⅰ）求证：
∥
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）求正方体被平面所截得的几何体
的体积.
21．（本小题满分14分）
对于定义域为D的函数
，若同时满足下列条件：
①在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[
]
，使在[]上的值域为[]；那么把（
）叫闭函数。
（Ⅰ）求闭函数
符合条件②的区间[]；
（Ⅱ）判断函数
是否为闭函数？并说明理由；
（Ⅲ）若
是闭函数，求实数
的取值范围。
一．选择题：CCBAB BBADA
解析：1：由映射概念可知
可得
.故选
.
2：如图，
＋3
＝
，在
中，
由余弦定理得｜＋3|=｜｜＝
，故选C。
3：取
，由图象可知，此时注水量
大于容器容积的
，故选B。
4：因
为三角形中的最小内角，故
，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故应选A。
5：取x＝4，y＝?100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ?100%≈77.2%，排除A，故选B。
6：等差数列的前n项和Sn=
n2+(a1-)n可表示为过原点的抛物线，又本题中a1=-9<0,
S3=S7,可表示如图，由图可知，n=
,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时Sn最小，故选B。
7：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。
8：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径
，从而求出球的表面积为
，故选A。
9：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线
是相交的，因为直线上的点
在椭圆内，对照选项故选D。
10：
，从而对任意的
，存在唯一的
，使得
为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令
,当时，
，由此得
故选A。
二．填空题：11、
； 12、
； 13、
；
14、
； 15、
；
解析：11：不等式
等价于
，也就是
，所以
，从而应填．
12： 
，不论
的值如何，
与
同号，所以
13：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆
的圆心的距离不超过半径，∴。
14.解：由正弦定理得
即
，∴所求直线的极坐标方程为.
15.解：
即
，
三．解答题：
16．解：(Ⅰ)函数 
要有意义需满足：
即
，解得
，
…………………………………3分
函数
要有意义需满足
，即
，
解得
或
…………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
，
，
，
………………………12分
17.解：（I）因为
是等比数列，
又
…………………………………………2分
∴
是以a为首项，
为公比的等比数列.………………………………6分
（II）（I）中命题的逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.
……………………………………………………………8分
设的公比为
则
又
是以1为首项，q为公比的等比数列，
是以为首项，q为公比的等比数列.……………………10分
即为1，a，q，aq，q2，aq2，…
但当q≠a2时，不是等比数列
故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分
另解：取a=2，q=1时，
因此是等比数列，而不是等比数列.
故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分
18.解：（1）设选对一道“可判断２个选项是错误的”题目为事件A，“可判断１个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C.则
---
所以得４０分的概率
………………………………4分
(2) 该考生得20分的概率
=
……………………5分
该考生得25分的概率：
=
……………………6分
该考生得30分的概率：
=
= 
--------------7分
该考生得35分的概率：
=
……………………9分
∵
∴该考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分
（3）该考生所得分数的数学期望
=
………………………………14分
19．解：（Ⅰ）由
知圆心C的坐标为
--------------（1分）
∵圆C关于直线
对称
∴点在直线上 -----------------（2分）
即D+E=－2，------------①且
-----------------②-----------------（3分）
又∵圆心C在第二象限 ∴
-----------------（4分）
由①②解得D=2,E=－4 -----------------（5分）
∴所求圆C的方程为：
------------------（6分）
（Ⅱ）
切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设
：
-----------（7分）
圆C:
圆心
到切线的距离等于半径
，
即
。
------------------（12分）
所求切线方程
------------------（14分）
20．（Ⅰ）证明：在正方体
中，∵平面
∥平面
平面
平面
，平面平面
∴
∥
.-------------------------------------3分
（Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD1为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有
D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴
，
设平面的法向量为 
则由
，和
，得
，
取
，得
，
，∴
------------------------------6分
又平面
的法向量为
（0，0，2）
故
；
∴截面与底面所成二面角的余弦值为
. ------------------9分
（Ⅲ）解：设所求几何体
的体积为V，
∵
～
，
，
，
∴
，
，
∴
，
--------------------------11分
故V棱台
∴V=V正方体-V棱台
. ------------------14分
21．解：（Ⅰ）由题意，
在[
]上递减，则
解得
所以，所求的区间为[-1，1] ………………………4分
（Ⅱ）取
则
，即
不是
上的减函数。
取
，
即不是上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。-------9分
（Ⅲ）若
是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即
，
为方程
的两个实数根，
即方程
有两个不等的实根。
当
时，有
，解得
。
当
时，有
，无解。
综上所述，
---------------------------------------------14分
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