2009届高考数学第三轮复习精编模拟六
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
第一部分 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是…………………………（ ）
A）
±
B）-± C）±+ D）±-
2、不等式组
的解集为 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．
B
C．
D．
3、
的三边
满足等式
，则此三角形必是（）
A、以
为斜边的直角三角形 B、以
为斜边的直角三角形
C、等边三角形 D、其它三角形
4、若函数
，满足对任意的
、
，当
时，
，则实数的取值范围为（ ）
A、
B、
C、
D、
5、设
、
是方程
的两根，且
，则
的值为： （ ）
A、
B、
C、
D、
6、过曲线
上一点
的切线方程为（ ）
A、
B、
C、
D、
7、如图，在多面体ABCDFE中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=
，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为： （ ）
A、
B、
8、如果n是正偶数，则C
＋C
＋…＋C
＋C
＝（
）
（A） 2
（B） 2
（C） 2
（D） (n－1)2
9、等比的正数数列{
}中，若
，则
=（ ）
(A) 12, (B) 10, (C) 8, (D)2+
10、双曲线b2x2－a2y2=a2b2
(a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos
等于（ ）
A．e B．e
D．
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．
11、已知函数
，那么
+
。
12、如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是________．
13、过抛物线
的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则
。
14、(坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系中圆
的参数方程为
（
为参数），则圆的普通方程为__________，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心极坐标为_________．
15．(几何证明选讲选做题) 如图，
是
的切线，切点为
，直线
与交于
、
两点，
的平分线分别交直线
、
于
、
两点，已知
，
，则
，
．
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
记函数
，
,它们定义域的交集为
,若对任意的
,
，则称
是集合
的元素.
（1）判断函数
是否是的元素；
（2）设函数
，求的反函数
，并判断是否是的元素；
17．（本小题满分12分）
已知抛物线
与直线
相切于点
．
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
18．（本小题满分14分）
如图组合体中，三棱柱
的侧面
是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与
、
重合一个点.
（Ⅰ）求证：无论点如何运动，平面
平面
；
（Ⅱ）当点是弧
的中点时，求四棱锥
与圆柱的体积比．
19．（本小题满分14分）
已知数列
满足：
且对任意的
有
.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在等差数列
，使得对任意的
有
成立？证明你的结论
20．（本小题满分14分）
如图，在直角坐标系
中，已知椭圆
的离心率e＝
，左右两个焦分别为
．过右焦点
且与
轴垂直的
直线与椭圆
相交M、N两点，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足
，
（
）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上. 
21．（本小题满分14分）
已知二次函数
.
（1）若
，试判断函数
零点个数；
(2)若对
且
，
，试证明
，使
成立。
(3)是否存在
，使同时满足以下条件①对
，且
；②对
,都有
。若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
一．选择题：DCDDA DDBBC
解析：1：复数i的一个辐角为900，利用立方根的几何意义知，另两个立方根的辐角分别是900+1200与900+2400，即2100与3300，故虚部都小于0，答案为（D）。
2：把x=3代入不等式组验算得x=3是不等式组的解，则排除(A)、(B), 再把x=2代入不等式组验算得x=2是不等式组的解，则排除(D)，所以选(C).
3：在题设条件中的等式是关于
与
的对称式，因此选项在A、B为等价命题都被淘汰，若选项C正确，则有
，即
，从而C被淘汰，故选D。
4：“对任意的x1、x2，当
时，
”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“
有意义”。事实上由于
在
时递减，从而
由此得a的取值范围为
。故选D。
5：由韦达定理知
.从而
，故
故选A。
6：当点A为切点时，所求的切线方程为
，当A点不是切点时，所求的切线方程为
故选D。
7：由已知条件可知，EF∥平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2， ∴VF－ABCD＝
?32?2＝6，而该多面体的体积必大于6，故选（D）.
8：由二项展开式系数的性质有C
＋C
＋…＋C
＋C
＝2
，选B.
9：取特殊数列
=3，则
=
=10，选(B).
10：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为
－
=1，易得离心率e=
,cos
=
，故选C。
二．填空题：11、
； 12、
；13、
；14、
，
；15、
，
；
解析：11：因为
（定值），于是
，
，
，又
， 故原式=。
12：因为正方形的面积是16，内切圆的面积是
，所以豆子落入圆内的概率是
．
13：设k = 0，因抛物线焦点坐标为
把直线方程
代入抛物线方程得
，∴
，从而
。
14.（略）
15.（略）
三．解答题：
16．解：（1）∵对任意
，
，∴
--2分
∵
不恒等于
，∴
--------------------------4分
（2）设
①
时，由
解得：
由 解得其反函数为 ，
-----------------7分
②
时，由 解得：
解得函数的反函数为，
--------------------9分
∵
∴
------------------------------------------------------------------12分
１7．解：（Ⅰ）依题意，有
，
．
因此，
的解析式为
； …………………6分
（Ⅱ）由
（
）得
（），解之得
（）
由此可得
且
，
所以实数
的取值范围是
． …………………12分
18.（I）因为侧面
是圆柱的的轴截面，
是圆柱底面圆周上不与、
重合一个点，所以
…………………2分
又圆柱母线
^平面
，
Ì平面，所以^，
又
，所以^平面
，
因为Ì平面
，所以平面
平面；…………………………………6分
（II）设圆柱的底面半径为
，母线长度为
，
当点是弧
的中点时，三角形的面积为
，
三棱柱
的体积为
，三棱锥
的体积为
，
四棱锥
的体积为
，………………………………………10分
圆柱的体积为
，
………………………………………………12分
四棱锥与圆柱的体积比为
.……………………………………………14分
19.(Ⅰ)解：∵
∴
∴数列
是首项为（
），公比为2的等比数列，………………4分
，
，∴数列
是首项为1，公差为1的等差数列
，∴
…
…………………7分
（Ⅱ）令
代入
得：
解得:
由此可猜想
，即
…………………10分
下面用数学归纳法证明：
（1）当n＝1时，等式左边＝1，右边＝
,
当n＝1时，等式成立，
（2）假设当n＝k时，等式成立，即
当n＝k＋1时
∴当n＝k＋1时，等式成立，
综上所述，存在等差数列，使得对任意的
有成立。
…………………14分
20.解：(Ⅰ)∵
轴，∴
,由椭圆的定义得：
， ……………2分
∵
，∴
，
又
得
∴
………………4分
∴
，∴所求椭圆C的方程为
． …………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为
则
，
, 由
－4得－
，
∴点P的轨迹方程为
…………………8分
设点B关于P的轨迹的对称点为
，则由轴对称的性质可得：
，
解得：
，…………………10分
∵点在椭圆上，
∴ 
，
整理得
解得
或 
…………………12分
∴点P的轨迹方程为
或
，经检验和都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为或．…………………14分
21.解（1） 
…………………1分
，
当
时
，函数
有一个零点；
当
时，
，函数有两个零点。…………………3分
（2）令
，则
，…………………5分
在
内必有一个实根。即
，使
成立。…………………8分
（3）
假设
存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，且
∴
………………10分
由②知对
,都有
令
得
由
得
， …………………12分
当时，
，其顶点为（－1，0）满足条件①，又
对,都有，满足条件②。
∴存在
，使同时满足条件①、②。 …………………14分
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