2009届高考数学第三轮复习精编模拟九
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
第一部分 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、下列函数中既是奇函数，又是区间
上单调递减的是 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（A）
； (B) 
；(C) 
；(D) 
.
2
下列不等式一定成立的是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（A）
；
(B) 
；
(C) 
；
(D) 
3、锐角三角形的内角
、
满足
，则有 （ ）
（A）
；（B）
；
（C）
； D）
.
4、不等式
的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、方程
的正根个数为（ ）
A、0 B、
6、已知
，且
，则m的值为（ ）
A、2 B、1 C、0 D、不存在
7、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
，这个长方体对角线的长是 （ ）
8、在
内，使
成立的
的取值范围是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、如果n是正偶数，则C
＋C
＋…＋C
＋C
＝（ ）。
A. 2
B. 2
C. 2
D. (n－1)2
10、已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为
的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（
的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．
11、设非零复数
满足 
，则代数式 
的值是_____.
12、如果函数
的图象关于直线
对称，那么
13、 如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上）
14、(坐标系与参数方程选做题)
以极坐标系中的点
为圆心，1为半径的圆的方程是
；
15．(几何证明选讲选做题) 如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC，则
sin∠ACO=_________
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
如图，函数
的图象与
轴交于点
，且在该点处切线的斜率为
．
（1）求和
的值；
（2）已知点
，点
是该函数图象上一点，点
是
的中点，当
，
时，求
的值．
17．（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
与
，且乙投球2次均未命中的概率为
.
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为
，求的分布列和数学期望.
18．（本小题满分14分）
已知函数
.
（1）求函数
在区间
（
为自然对数的底）上的最大值和最小值；
（2）求证：在区间
上，函数的图象在函数
的图象的下方；
（3）求证：
≥
.
19．（本小题满分14分）
一束光线从点
出发，经直线
上一点反射后，恰好穿过点
． （Ⅰ）求点
关于直线
的对称点
的坐标；
（Ⅱ）求以、
为焦点且过点的椭圆
的方程；
（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点
为线段
上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．
20．（本小题满分14分）
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；
21．（本小题满分14分）
已知二次函数
同时满足：①不等式≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在
，使得不等式
成立,设数列｛
｝的前
项和
.
（1）求函数的表达式；
(2) 求数列｛｝的通项公式；
（3）设各项均不为0的数列｛
｝中，所有满足
的整数
的个数称为这个数列｛｝的变号数，令
（
）,求数列｛｝的变号数.
一．选择题：DABDA CDCBC
解析：1:由条件“函数是奇函数”可排除(B)、(C), 又
在区间
上不是单调递减, 可淘汰(A)，所以选(D).
2：取满足题设的特殊数值 a=
,
，
0>
,检验不等式(B),(C),(D)均不成立,选 (A).
3：由已知得
4：把x=1代入不等式组验算得x=1是不等式组的解，则排除(B)、(C), 再把x=-3代入不等式组验算得x=-3是不等式组的解，则排除(B)，所以选(D).
5：本题学生很容易去分母得
，然后解方程，不易实现目标。
事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出
的图象，容易发现在第一象限没有交点。故选A。
6：当m=0时，显然有
；若
时，由，得
，方程无解，m不存在。故选C。
7：由已知不妨设长
宽
高
，则对角线的长为
.故选
8：由
得sin（x－
）＞0，即2 kπ＜x－＜2kπ＋π，取k＝0即知选C.
9：用特值法：当n＝2时，代入得C
＋C
＝2,排除答案A、C；当n＝4时，代入得C
＋C
＋C
＝8,排除答案D。所以选B。
10：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan
=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tan≠，排除A、B、D，故选C.
二．填空题：11、1；12、-1；13、23； 14、
；15、
；
解析：
11： 将已知方程变形为 
，
解这个一元二次方程，得
显然有
, 而
,于是
原式＝
＝
＝
12： 由条件得
，其中
.
是已知函数的对称轴，
， 即 
，
于是 
故应填 
.
13：因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图2所示；
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图3所示. 故应填23.
14.（略）
15.解：由条件不难得
为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则
，
，
，
sin∠ACO=
）=
三．解答题：
16.解：（1）将
，
代入函数
得
，因为
，所以
．
------------------2分
又因为
，
，，所以
，
因此
．
------------------5分
（2）因为点
，
是
的中点，
， 所以点
的坐标为
． ------------------7分
又因为点在的图象上，
所以
．------------------9分
因为
，所以
，
从而得
或
．即
或
------------------12分
17.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B
由题意得 
， 解得
或
（舍去），
所以乙投球的命中率为
------------------3分
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知
-------------4分
可能的取值为0，1，2，3，故 
， 
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
------------------12分
18.解：(1)∵
-------------------------------------------------1分
当
时，
∴函数
在
上为增函数-----------------------------------------3分
∴
，
--------------------------4分
（２）证明：令
则
∵当
时
，∴函数
在区间
上为减函数
∴
即在上，
∴在区间上，函数的图象在函数
的图象的下方-----8分
（3）证明：∵
当
时，不等式显然成立
当
时
∵
＝
-----①
-------------②-----10分
①+②得
≥
（当且仅当
时“＝”成立）---------------13分
∴当时，不等式成立
综上所述得
≥
.--------------------------14分
19.解：（Ⅰ）设
的坐标为
，则
且
．
解得
， 因此，点 的坐标为
．
（Ⅱ）
，根据椭圆定义，
得
，
，
． ∴所求椭圆方程为
．
（Ⅲ）
，椭圆的准线方程为
．
设点
的坐标为
,
表示点到
的距离，
表示点到椭圆的右准线的距离．
则
，
．
， 令
，则
，
当
，
， 
，
．
∴ 
在时取得最小值．
因此，
最小值＝
，此时点的坐标为
-----------------14分
20.解：（Ⅰ）取
中点
，连结
．
为正三角形，
．
在正三棱柱
中，平面
平面
， 
平面．
取
中点
，以为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
， 
，
，
，
．
，
，
，
．
平面
．--------------------6分
（Ⅱ）设平面
的法向量为
．
，
． 
，
，
令
得
为平面的一个法向量．--------------------9分
由（Ⅰ）知
平面， 
为平面的法向量．
，
．
二面角
的大小为
． --------------------11分
（Ⅲ）
中，
，
．
在正三棱柱中，
到平面的距离为
．设点
到平面的距离为
．
由
得
， 
．
点到平面的距离为
--------------------14分
21.解（１）∵不等式≤0的解集有且只有一个元素
∴
解得
或
--------------------2分
当时函数
在
递增，不满足条件②--------------------3分
当时函数
在（０，２）上递减，满足条件②--------------------4分
综上得，即 --------------------5分
（２）由（１）知
, 当时，
当≥２时
＝
＝
--------------------7分
∴
--------------------8分
（３）由题设可得
--------------------9分
∵
，
，
∴
，
都满足
--------------------11分
∵当≥３时，
即当≥３时，数列｛
｝递增，
∵
，由
，可知
满足----------------13分
∴数列｛｝的变号数为３. ------------------14分
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