1. 已知集合，则（　　　）

A.     B.     C.     D.

2. 不等式的解集是（　　　）

A.     B.          C.     D.

3. 直线与圆相切，则的值为（　　　）

A.          B.                C.          D.

4. 若与都是非零向量，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件       B. 必要不充分条件  

C. 充要条件             D. 不充分也不必要条件

5. 函数的单调减区间是（　　　）

A.    B.            C.       D.

6. 若函数满足，且时，，则函数的图像与函数的图像的交点的个数为（　　　）

A.          B.                  C.           D.

7. 方程在内有解，则的取值范围是（　　　）

A.       B.          C.      D.

8. 已知正四面体A-BCD中，动点P在内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为（　　　）

A. 椭圆的一部分   B. 双曲线的一部分    C. 抛物线的一部分    D. 一条线段

9. 已知复数,则化简复数=             .

10. 设函数的反函数为，且的图像过点（，1），则的图像必过定点的坐标是             .

11. 由圆与平面区域所围成的图形（包括边界）的面积为      .     

12. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1┱2┱3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是　    　　．

13. 已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点间的球面距离为，B、C与A、C间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为               .

14. 有五种不同颜色供选择，把右图中五块区域涂色，同一区域同一颜色，相邻区域不同颜色，共有         种不同的涂法.（结果用数值表示）

15. 七月过后，粮食丰收了。农民刘某家的原有粮仓显得太小了，他决定在屋内墙角（如图，墙角∠A = 60°）搭建一个急用粮仓。现有一块矩形木板BCDE，刘某在想，木板应该怎样放置才能使粮仓装粮最多？（假定粮仓顶面DEF水平并另用木板盖上）。

（1）若矩形木板边长分别为1米和2米，则最大值为         

（2）若矩形木板周长为8米，则最大值为         

16. （本小题满分12分）甲、乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人命中目标或两人总射击次数达4次为止. 若甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为.

求：（1）甲在他第二次射击时胜出的概率；

（2）比赛停止时，甲、乙两人射击总次数的分布列和期望。

17. （本小题满分12分）设的内角A、B、C所对的边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的取值范围.

18. （本小题满分12分）

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，又CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

（1）求证：AO平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（3）求点E到平面ACD的距离．

19. （本小题满分13分）

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设

（1）将（O为坐标原点）的面积表示成的函数；

（2）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值.

20. （本小题满分13分）

已知方向向量为的直线过椭圆的焦点以及点，椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线，交椭圆于P、Q两点，若点M在轴上，且使为的一条角平分线，则称点M为椭圆的“左特征点”，求椭圆的左特征点M的坐标.

21. （本小题满分13分）

已知数列满足：，且

（1）设，证明数列是等差数列；

（2）求数列、的通项公式；

（3）设，为数列的前项和，证明.

2009届高三4月份模拟考试试题答案

理科数学

题  号

1

2

3

4

5

6

7

8

答  案

C

A

B

C

B

C

C

A

（2）的可能取值为1、2、3、4                    

表示甲第一次就击中目标

表示甲第一次未击中，乙第一次击中目标

表示甲、乙前一次都未击中，甲第二次击中目标

表示前三次射击未中         …………………………..8分

的分布列为

1

2

3

4

P

…………..10分

                         …………….……..12分

17、（本小题满分12分）

解：（1）方法一：在中，有

由正弦定理得：

又

  ，即，

又为的内角，                …………………………..5分

方法二：由得

即：    

（2）由正弦定理得：………………..7分

                                     …………………………..10分

于是

故的周长的取值范围为。                  …………………………..12分

18、(本小题满分12分)

 解：方法一：（1）证明：连结OC．

BO=DO，AB=AD，AOBD．

BO=DO，BC=CD，COBD．        

在AOC中，由已知可得AO=1，CO=，

而AC=2，，                 

AOC=90°，即AOOC．，AO平面BCD．

…………………………..4分

（2）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，

由E为BC的中点知ME//AB，OE//DC．

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．           

在OME 中,EM= AB=，OE=DC=1，                                         

OM是直角△AOC斜边Ac上的中线，OM=AC=1，

,异面直线AB与CD所成角的大小为．   

…………………………..8分

（3）设点E到平面ACD的距离为h．

在ACD中，CA=CD=2，AD=，

而,    

点E到平面ACD的距离为．      ……………..…..12分

方法二：（1）同方法一．

（2）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（一1，0，0），C（0，,0），（0,0,l）,E（），=（一1，0，1），（一1，一，0）．

，   异面直线AB与CD所成角的大小为arccos．                

（3）解：设平面ACD的法向量为，

则，

令y=I，得是平面ACD的一个法向量．                       

又点E到平面ACD的距离  

19、（本小题满分13分）

解：（1），切线的斜率为，切线的方程为

令得            …………………..3分

,令,得

的面积          …………………..6分

(2)                  …………………..8分

,由,得

当时,

当时,

                              …………………..11分

已知在处, ,故有

故当时,           …………………..13分

20、（本小题满分13分）

解、（1）直线的方程为　　①                   …………………..2分

过原点垂直于的直线方程为　　②

解①②得                                         

椭圆中心O（0，0）关于直线的对称点在椭圆的右准线上，

                                             …………………..4分

直线过椭圆的焦点，该焦点的坐标为             

从而     故椭圆C的方程为     …………………..6分

（2）设左特征点的坐标为，左焦点为，可设直线PQ的方程为

由与,消去得 

又设,则

　　　③                  …………………..8分

因为为的角平分线,所以,    

即:                                    …………………..10分

将与代入上式化简,得

    ④

将③代入④中,得

,得

即左特征点为                                    …………………..13分

21、（本小题满分13分）

解：(1) ,

为等差数列                     …………………..3分

(2)由(1),从而            ………………….6分

(3)

,

当时,,不等式的左边=7,不等式成立

当时,                      

故只要证,                   ………………….8分

如下用数学归纳法给予证明:

①当时,,时,不等式成立;

②假设当时,成立

  当时,

  只需证: ,即证:     ………………….10分

令,则不等式可化为:

即

令,则

在上是减函数

又在上连续, ,故

当时,有

当时,所证不等式对的一切自然数均成立

综上所述,成立.                           ………………….13分