1．已知集合，且，则实数的取值范围是（    ）

    A．    B．    C．  D．

2．若函数的反函数为，则等于（    ）

    A．   B．   C．    D．

3．在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于（    ）

    A．13      B．26    C．8     D．16

4．复数在复平面上对应的点位于（    ）

    A．实轴上    B．虚轴上   C．第一象限   D．第二象限

5．已知正三棱锥中，一条侧棱与底面所成的角为，则一个侧面与底面所成的角为（    ）

    A．   B．   C．   D．

6．若函数的图象关于点对称，则函数一定是（    ）

    A．奇函数                  B．偶函数

    C．既是奇函数又是偶函数    D．非奇非偶函数

7．某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各一名的概率为（    ）

      A．    B．      C．    D．

8．过圆上一点作切线与轴，轴的正半轴交于、两点，则的最小值为（    ）

    A．    B．    C．    D．

9．某市学生的高考成绩服从正态分布，平均成绩，方差为，若全市高考录取率为，则录取分数线为(已知) （    ）

    A．   B．    C．     D．

10．设动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为（    ）

    A．   B．    C．    D．

11．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

    A．  B．  C．    D．

12．双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为、，抛物线的准线为，焦点为，与的一个交点为，线段的中点为，是坐标原点，则（    ）

    A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷 (非选择题  共90分)

13．若对于任意的实数，都，则实数的值为        ．

14．若棱长为的正方体的八个顶点都在球的表面上，则，两点之间的球面距离为         ．

15．函数的最小值是          ．

16．给出以下四个命题：

    ①函数的最小值为2；

    ②在数列中，，是其前项和，且满足，则数列是等比数列；

    ③若，则函数是以4为周期的周期函数；

    ④若函数的图象关于点对称，则的值为．

    则正确命题的序号是                 。

17．(本小题满分10分)

18．(本小题满分12分)

    在中，， ．

   (Ⅰ)求；

  (11)设的外心为，若，求，的值．

19．(本小题满分12分)

    在四棱锥中，底面是

边长为2的菱形，，，

，是的中点．

    (Ⅰ)证明：平面；

    (Ⅱ)求二面角的大小．

    (Ⅲ)设是直线上的动点，求点到平面的最大距离．

20．(本小题满分12分)

    已知函数．

    (I)求的单调区间；

    (Ⅱ)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．

21．(本小题满分12分)

    已知两点和分别在直线和上运动，且，动点满足： (为坐标原点)，点的轨迹记为曲线．

    (Ⅰ)求曲线的方程，并讨论曲线的类型；

    (Ⅱ)过点作直线与曲线交于不同的两点、，若对于任意，都有为锐角，求直线的斜率的取值范围．

22．(本小题满分12分)

    在数列中，，且．

    (Ⅰ)求数列的通项公式；

    (Ⅱ)令，数列的前项和为，试比较与的大小；

    (Ⅲ)令，数列的前项和为，求证：对任意都有

2009石家庄市高三第一次模拟考试

数学理科答案

1.A      2. B     3. A      4. B     5.D     6.A

7. B      8.A     9. C     10. D    11.B　  12.C

13．　            14．　      

15．  1                 16．③  ，④  

（小时）

,………………………7分

.…………………………………9分

18．(本题12分)

解: (Ⅰ)由余弦定理知:

,………2分

.……………5分

(Ⅱ)由,

知

…………………………………7分

为的外心，

.

同理.………………………………10分

即， 解得: ……12分

19．(本题12分)

（Ⅰ）取的中点，连结，.

四边形为菱形,,

则……………2分

.

同理

故.……………………4分

（或用同一法可证）

（Ⅱ）先求二面角的大小

取的中点， 过作于点，

连结.

则，

是二面角的平面角，……6分

可求得，

又

所以二面角的大小为.……………………8分

法二: 过作交于，

以为坐标原点，直线、、

分别为轴，

建立空间直角坐标系.

则（0，0，0），，

（0，0，2），.

,.…………………6分

设平面的法向量为，

则

取=则.

设平面的法向量为，

则  取，

则.

＜，＞=，

二面角的大小为.……………………8分

（Ⅲ）先求点到平面的最大距离.

点到直线的距离即为点到平面的距离. ……10分

过作直线的垂线段,在所有的垂线段中长度最大为.

为的中点,

故点到平面的最大距离为1. ……………………12分

20.(本题12分)

解：（Ⅰ）

（?）当时,

的单调递增区间是().……………………2分

(?) 当时,令得

当时，

当时，

的单调递减区间是()，

的单调递增区间是 ().……………………5分

(Ⅱ),

,.

设

若存在实数,使得成立,

则……………………8分

解得得,

当时,

当时,

在上是减函数,在上是增函数. …………………10分

的取值范围是().…………………………………………………12分

21．(本题12分)

（I）由，得是的中点. …………2分

设依题意得:

消去，整理得．

当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

当时，方程表示圆．       ……………………………5分

（II）由，焦点在轴上的椭圆，直线与曲线恒有两交点，

直线斜率不存在时不符合题意；

可设直线的方程为，直线与椭圆交点.

.………………7分

要使为锐角，只需

.………………9分

即，

可得，对于任意恒成立.

而，

所以的取值范围是.………………12分

22(本题12分)

 解:(Ⅰ)，………………1分

，

即().………………3分

（II），

.

猜想当时，.………………4分

下面用数学归纳法证明:

①当时，由上可知成立；

②假设时，上式成立，即.

当时，

所以当时成立.

由①②可知当时,. ………………7分

综上所述当时, ;

当时, ;

当时,. ………………8分

（III）

当时，

所以

＋.………………12分