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    北京市西城区2008年抽样测试

    高三数学试卷(文科)                        2008.5

    学校___________    班级___________    姓名___________

    题号

    一

    二

    三

    总分

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    分数

     

     

     

     

     

     

     

     

     

        本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.

    第一卷(选择题共40分)

    一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

    1.设全集I=R，集合A={x|x<0}，B={x||x|>1}，则集合A∩(B)等于(    )

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    A.               B.{x|－l≤x<0}          C.{x|0<x≤1}           D.{x|－1≤x≤1}

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    2.双曲线x2=1的渐近线方程是(    )

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    A.y=±4x           B.y=±x               C.y=±2x               D.y=±x

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    3.设m，n表示不同的直线，α,β表示不同的平面，且m，n.则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(    )

    A.充分但不必要条件                       B.必要但不充分条件

    C.充要条件                               D.既不充分又不必要条件

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    4.在等差数列{an}中，al=13，a3=12，若an=2，则n等于(    )

    A.23                 B.24                  C.25                    D.26

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    5.圆(x－1)2+y2=1的圆心到直线xy=0的距离是(    )

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    A.                 B.                  C.                  D.1

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    6.设|φ|<，函数f (x)=sin2(x+φ).若f()=，则φ等于(    )

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    A.               B.                 C.                  D.

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    7.函数y=logax(a>0且a≠1)的图象按向量n=(－3，1)平移后恰好经过原点，则a等于(    )

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    A.3                   B.2                   C.                   D.

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    8.袋中装有分别编号为1，2，3，4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法有(    )

    A.24种               B.28种                C.32种                D.36种

    北京市西城区2008年抽样测试

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                                     高三数学试卷(文科)                       2008.5

    学校_________  班级_________  姓名_________

    第二卷(非选择题  共110分)

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    二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.)

    9.从全年级学生的数学考试成绩中，随机抽取10名学生的成绩，抄录如下：(单位：分)

    82    90    74    81    77    94    82    68    89    75

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    根据样本频率分布估计总体分布的原理，该年级学生的数学考试成绩在79.5~85.5之间的概率约为___________.

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    10.设向量a=(x，1)，b=(2，1－x)，若a⊥b，则实数x=___________.

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    11.已知点P(x，y)的坐标满足条件则变量2x－y的最大值是___________.

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    12.在(2x+1)4的展开式中，x2的系数是___________；展开式中各项系数的和为___________.

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    13.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，则折起后B,

    D两点的距离为__________；直线BD和平面ABC所成角的大小是__________.

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    14.设函数f(x)，g(x)的定义域分别为Df，Dg，且DfDg.若对于任意xDf，都有g(x)=f(x)，则称函数g(x)为f(x)在Dg上的一个延拓函数.设f (x)=2x(x≥0)，g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则g(x)=__________.

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    三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

    15.(本小题满分12分)

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    已知函数f(x)=asinx+bcosx的图象经过点(，0)和(，1).

    (Ⅰ)求实数a和b的值；

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    (Ⅱ)若x[0，π]，求f(x)的最大值及相应的x值.

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    16.(本小题满分13分)

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    设甲，乙两人每次投球命中的概率分别是，，且两人各次投球是否命中相互之间没有影响.

    (Ⅰ)若两人各投球1次，求两人均没有命中的概率；

    (Ⅱ)若两人各投球2次，求乙恰好比甲多命中1次的概率.

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    17.(本小题满分13分)

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    如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=，

    AB=l，E是DD1的中点.

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    (Ⅰ)求证：AC⊥BlD；

    (Ⅱ)求二面角E－AC－B的大小.

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    18.(本小题满分14分)

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    在数列{an}中，a1=3，an=－an－1－2n+1(n≥2，且nN*).

    (Ⅰ)求a2，a3的值；

    (Ⅱ)证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式；

    (Ⅲ)求数列{an}的前n项和Sn.

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    19.(本小题满分14分)

    已知抛物线的方程为x2=2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2相交于点M.

    (Ⅰ)证明：l1⊥l2；

    (Ⅱ)求点M的轨迹方程.

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    20.(本小题满分14分)

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    设aR，函数f(x)=3x3―4x+a+1.

    ( I )求f(x)的单调区间；

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    (Ⅱ)若对于任意x[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，求a的最大值；

    (Ⅲ)若方程f(x)=0存在三个相异的实数根，求a的取值范围.

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    一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

    1.B         2.C         3.A         4.A       5.B       6.C      7.D     8.C

    二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

    9.0.3                 10.－1               11.4

    12.24；81             13.1；45°          14.2 |x|

    注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.

    三、解答题：本大题共6小题，共80分.

    15.(本小题满分12分)

    (Ⅰ)解：

    ∵函数f(x)=asinx+bcosx的图象经过点，

    ∴          2分  即                   4分

    解得a=1，b=－.                                                         6分

    (Ⅱ)解：

    由(Ⅰ)得f(x)=sinx－cosx=2sin（）.                                   8分

    ∵0≤x≤π，              ∴－                               9分

    当x－，即x=时，sin取得最大值1.                        11分

    ∴f(x)在[0，π]上的最大值为2，此时x=.                                   12分

    16.(本小题满分13分)

    (Ⅰ)解：

    记“甲投球命中”为事件A，“乙投球命中”为事件B，则A，B相互独立，

    且P(A)=，P(B)=.

    那么两人均没有命中的概率P=P()=P()P()=.         －5分

    (Ⅱ)解：

    记“乙恰好比甲多命中1次”为事件C，“乙恰好投球命中1次且甲恰好投球命中0次”为事件C1，“乙恰好投球命中2次且甲恰好投球命中1次”为事件C2，则C=C1+C2，C1，C2为互斥事件.

    ，                                             8分

    ?                                           11分

    P(C)=P(C1)+P(C2)=.                                                        13分

    17.(本小题满分13分)

    解法一：

    连结BD.

    ∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，

    ∴B1B⊥平面ABCD，

    ∴BD是B1D在平面ABCD上的射影，

    ∵AC⊥BD，

    根据三垂线定理得，AC⊥B1D.              5分

    (Ⅱ)解：

    设AC∩BD=F，连结EF.

    ∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

    根据三垂线定理得AC⊥FE，    又AC⊥FB，

    ∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                       －9分

    在Rt△EDF中，由DE=DF=，得∠EFD=45°.                                12分

    ∴∠EFB=180°－45°=135°，

    即二面角E－AC－B的大小是135°.                                            13分

    解法二：

    ∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，

    如图，以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，

    y轴，z轴，建立空间直角坐标系.             1分

    D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，

    B1(1,1，).                               3分

    (Ⅰ)证明：

    ∵=（－1，1，0），  ，

    ∴=0，

    ∴AC⊥B1D.                                                            6分

    (Ⅱ)解：

    连结BD，设AC∩BD=F，连结EF.

    ∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

    ∴AC⊥FE，AC⊥FB，

    ∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                         9分

    ∵底面ABCD是正方形     ∴F,

    ∴，                                      12分

    ∴二面角E-AC-B的大小是135°                                              13分

    18.(本小题满分14分)

    (Ⅰ)解：

    ∵a1=3，an=－an－1－2n+1(n≥2，且n∈N*)，

    ∴a2=－a1－4+1=－6，                   2分   a3=－a2－6+1=1.               4分

    (Ⅱ)证明：

    ∵

    ∴数列{an+n}是首项为a1+1=4，公比为－1的等比数列.                          7分

    ∴an+n=4?(－1)n－1, 即an=4?(－1)n－1－n，

    ∴{an}的通项公式为an=4?(－1)n－1－n(n∈N*).                                   9分

    (Ⅲ)解：

    ∵{an}的通项公式an=4?(－1)n－1－n(n∈N*)，

    所以当n是奇数时，Sn=?12分

    当n是偶数时，Sn=?(n2+n).

    综上，Sn=                                     14分

    19.(本小题满分14分)

    (Ⅰ)解：

    依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+，

    将其代入x2=2y，消去y整理得x2－2kx－1=0.                                  2分

    设A,B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，  则x1x2=－1.                       3分

    将抛物线的方程改写为y=x2，求导得y′=x.

    所以过点A的切线l1的斜率是k1=x1，过点B的切线l2的斜率是k2=x2，

    因为k1k2=x1x2=－1，所以l1⊥l2.                                              6分

    (Ⅱ)解：

    直线l1的方程为y－y1=k1(x－x1)，即y－=x1(x－x1)，

    同理，直线l2的方程为y－=x2(x－x2)，

    联立这两个方程，消去y得=x2(x－x2)－x1(x－x1)，

    整理得(x1－x2)=0，注意到x1≠x2，所以x=.                   10分

    此时)y=.                    12分

    由(Ⅰ)知，x1+x2=2k,    所以x==k∈R，

    所以点M的轨迹方程是y=.                                              14分

    20.(本小题满分14分)

    (Ⅰ)解：

    f(x)的导数f′(x)=9x2－4.

    令f′(x)＞0，解得x＞，或x＜－；  令f′(x)＜0，解得－＜x＜.

    从而f(x)的单调递增区间为,；单调递减区间为.     3分

    (Ⅱ)解:

    由f(x)≤0，  得－a≥3x3－4x+1.                                                4分

    由(Ⅰ)得，函数y=3x3－4x+1在内单调递增，在内单调递减，

    从而当x=－时，函数y=3x3－4x+1取得最大值.                            6分

    因为对于任意x∈[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，

    故－a≥，即a≤－，

    从而a的最大值是－.                                                    8分

    (Ⅲ)解：

    当x变化时，f(x)，f′(x)变化情况如下表：

    x

    f′(x)

    +

    0

    －

    0

    +

    f(x)

    ㄊ

    极大值a+

    ㄋ

    极小值a

    ㄊ

    ①由f(x)的单调性，当极大值a+＜0或极小值a＞0时，方程f(x)=0最多有一个实数根；

    ②当a=－时，解方程f(x)=0，得x=－，x=,即方程f(x)=0只有两个相异的实数根；

    ③当a=时，解方程f(x)=0，得x=,x=－，即方程f(x)=0只有两个相异的实数根.

    如果方程f(x)=0存在三个相异的实数根，则解得

    a∈.                                                           12分

    事实上，当a∈时，

    ∵f(－2)=－15+a＜－15+＜0，且f(2)，17+a＞17－＞0，

    所以方程f(x)=0在内各有一根.

    综上，若方程f(x)=0存在三个相异的实数根，则a的取值范围是.         14分

     


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