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    雅礼中学2008届高三第八次质检数学（文科）试卷

     

    本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试时量120分钟.

    第Ⅰ卷（选择题）

    一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

    1．已知集合，则是的    （   ）

           A  充分而不必要条件                             B  必要而不充分条件

           C  充要条件                                           D  既不充分也不必要条件

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    2．下列函数中周期为1的奇函数是                                            （   ）

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    A                   B     

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    C                        D 

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    3．下列不等式中恒成立的个数有                                                                           （   ）

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           ①                                 ②

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           ③             ④

           A  4                        B  3                        C  2                        D  1

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    4．25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选出方法种数为                      （   ）

           A  600                        B  300                        C  100                        D  60

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    5．已知的前n项和                 （   ）

    A  67                 B  65                C  6l                  D  56

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    6．对于平面直角坐标系内任意两点（，）、（，），定义它们之间的一种“距离”：‖‖=??+??．给出下列三个命题：

    ①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

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    ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

    ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

    其中真命题的个数为                                                       （   ）

    A  0                B  1                 C  2             D  3

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    7．如图,设O点在内部,且有,则的面积与的面积的比为                                                              （   ）

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    A  2             B              

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    C  3             D   

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    8． 已知点P 是抛物线上一点，设点P到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是                           （   ）

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        A  5              B  4                 C              D

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    A 

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    B 

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    C 

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    D 

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    10．一个正方体，它的表面涂满了红色.在它的每个面上切两刀，可得27个小立方块，从中任取2个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为              （   ）

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    A．                         B．                  C．                   D．

     

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    二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

    11．某校为了了解高三年级学生的身体状况，现用分层抽样的方法，从全年级600名学生中抽取60名进行体检，如果在抽取的学生中有男生36名，则在高三年级中共有女生    名．

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    12．若对任意实数都有    ，则      

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    13．通过两个定点 且在轴上截得的弦长等于的圆的方程是     

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    14．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.

    （i）当满足条件          时，m∥β；

    （ii）当满足条件       时，m⊥β　 （注意：只要填条件中的序号）

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    15．对于函数

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    （i）若，则=___  __;

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    （ii）若有六个不同的单调区间，则a的取值范围为        .

     

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    三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    16．（本小题满分12分）

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    已知△ABC的三边成等比数列，且，

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    （Ⅰ）求；                 

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    （Ⅱ）求的面积。

     

     

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    17．（本小题满分12分）

    某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．

    （Ⅰ）求两天全部通过检查的概率；

    （Ⅱ）求恰有一天通过检查的概率．

     

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    18．（本小题满分12分）

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    如图，等腰直角△中，，平面，∥，.

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    （Ⅰ）求二面角的大小；

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    （Ⅱ）求点到平面的距离；

     

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    19．（本小题满分13分）

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    我们把数列叫做数列的k方数列（其中an>0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和。

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    （Ⅰ）若的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求的k方数列通项公式。

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    （Ⅱ）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。

     

     

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    20．（本小题满分13分）

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    如图，设是椭圆的左焦点，直线为对应的准线，直线与轴交于点，线段为椭圆的长轴，已知，且．

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    （Ⅰ）求证：对于任意的割线，恒有；

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    （Ⅱ）求三角形△ABF面积的最大值．

     

     

     

     

     

     

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    21．（本小题满分13分）

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    设定义在上的函数（）

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    当时，取极大值且函数图象关于点对称

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    （Ⅰ）求的表达式；

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    （Ⅱ）试在函数的图象上求两点使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上；

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    （Ⅲ）设，求证：

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    一、选择题：

    ADBAA    BCCDC

    二、填空题：

    11． ；        12． ；      13．

    14（i）  ③⑤     （ii）  ②⑤         15．（i）7;     （ii）.

    三、解答题：

    16.解：（Ⅰ）

                                                                    …………5分

    由成等比数列，知不是最大边

                                                        …………6分

    （Ⅱ）由余弦定理

    得ac=2                                                                                                        …………11分

    =                                                                          …………12分

    17．解：（Ⅰ）第一天通过检查的概率为，       ………………………２分

    第二天通过检查的概率为，                  …………………………４分

    由相互独立事件得两天全部通过检查的概率为．        ………………６分

    （Ⅱ）第一天通过而第二天不通过检查的概率为，    …………８分

    第二天通过而第一天不通过检查的概率为，      ………………10分

    由互斥事件得恰有一天通过检查的概率为．     ……………………12分

     

    18．解：方法一

    （Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.

    在△中，，，，

    由余弦定理有

    ，

    所以二面角的大小是.                              （6分）

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.

    故.                              …（12分）

     

    19．解：（Ⅰ）设

    则   ……①

         ……②

    ∴②－①得  2d2=0，∴d=p=0

    ∴                                            …………6分

    （Ⅱ）当an=n时，恒等式为[S（1，n）]2=S（3，n）

    证明：

    相减得：

    ∴

    相减得：

    又

    又

    ∴                                         ………………………………13分

    20．解：（Ⅰ）∵，∴，

    又∵，∴，

    ∴，

    ∴椭圆的标准方程为．                                      ………（3分）

    当的斜率为0时，显然=0，满足题意，

    当的斜率不为0时，设方程为，

    代入椭圆方程整理得：．

    ，，．

    则

              ，

    而

    ∴，从而．

    综合可知：对于任意的割线，恒有．                ………（8分）

    （Ⅱ），

    即：，

    当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．

    ∴三角形△ABF面积的最大值是．                 ………………………………（13分）

     

    21．解：（Ⅰ）              ……………………………………………4分

    （Ⅱ）或者……………………………………………8分

    （Ⅲ）略                                        ……………………………………13分

     

     

     

    雅礼中学08届高三第八次质检数学（文科）试题参考答案

     

    一、选择题：

    ADBAA    BCCDC

     

    二、填空题：

    11． ；        12． ；      13．

    14（i）  ③⑤     （ii）  ②⑤         15．（i）7;     （ii）.

     

    三、解答题：

     

    16.解：（Ⅰ）

                                                                    …………5分

    由成等比数列，知不是最大边

                                                        …………6分

    （Ⅱ）由余弦定理

    得ac=2                                                                                                        …………11分

    =                                                                          …………12分

     

    17．解：（Ⅰ）第一天通过检查的概率为，       ………………………２分

    第二天通过检查的概率为，                  …………………………４分

    由相互独立事件得两天全部通过检查的概率为．        ………………６分

    （Ⅱ）第一天通过而第二天不通过检查的概率为，    …………８分

    第二天通过而第一天不通过检查的概率为，      ………………10分

    由互斥事件得恰有一天通过检查的概率为．     ……………………12分

     

     

     

     

     

    18．解：方法一

    （Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.

    在△中，，，，

    由余弦定理有

    ，

     

    所以二面角的大小是.                              （6分）

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.

    故.                              …（12分）

     

    19．解：（Ⅰ）设

    则   ……①

         ……②

    ∴②－①得  2d2=0，∴d=p=0

    ∴                                            …………6分

    （Ⅱ）当an=n时，恒等式为[S（1，n）]2=S（3，n）

    证明：

    相减得：

    ∴

    相减得：

    又

    又

    ∴                                         ………………………………13分

     

    20．解：（Ⅰ）∵，∴，

    又∵，∴，

    ∴，

    ∴椭圆的标准方程为．                                      ………（3分）

    当的斜率为0时，显然=0，满足题意，

    当的斜率不为0时，设方程为，

    代入椭圆方程整理得：．

    ，，．

    则

              ，

    而

    ∴，从而．

    综合可知：对于任意的割线，恒有．                ………（8分）

    （Ⅱ），

    即：，

    当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．

    ∴三角形△ABF面积的最大值是．                 ………………………………（13分）

     

    21．解：（Ⅰ）              ……………………………………………4分

    （Ⅱ）或者……………………………………………8分

    （Ⅲ）略                                        ……………………………………13分


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