如图（20）图， 为平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角的大小为，求：

     （Ⅰ）点B到平面的距离;

（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

      如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

（Ⅰ）求点P的轨迹方程;

（Ⅱ）设d为点P到直线l： 的距离，若,求的值.

（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）

      设各项均为正数的数列{a_n}满足.

     （Ⅰ）若求a₃,a₄,并猜想a₂₀₀₈的值（不需证明）;

（Ⅱ）若对n≥2恒成立，求a₂的值.

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题（文史类）答案

(1)C        (2)A        (3)C       (4)A          (5)D         (6)D

(7)B        (8)C        (9)B       (10)B         (11)A        (12)C

(13) |2 , 3|             (14) -23           (15) -2           (16) 12

(1)已知｛a_n｝为等差数列，a₂+a₈=12,则a₅等于

(A)4             (B)5                      (C)6                      (D)7

【答案】C

【解析】本小题主要考查等差数列的性质。由得：，故选C。

(2)设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的

(A)充分而不必要条件                       (B)必要而不充分条件        

(C)充要条件                                    (D)既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本小题主要考查充要条件的判定。由充分 而或，不必要，故选A。

(3)曲线C:(为参数)的普通方程为

(A)(x-1)²+(y+1)²=1                                          (B) (x+1)²+(y+1)²=1

(C) (x-1)²+(y-1)²=1                                          (D) (x-1)²+(y-1)²=1

【答案】C

【解析】本小题主要考查圆的参数方程。移项，平方相加，

，故选C。

(4)若点P分有向线段所成的比为-，则点B分有向线段所成的比是

(A)-                         (B)-                         (C)                          (D)3

【答案】A

【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。如下图可知，B点是有向线段PA的外分点，，故选A。

(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是

(A)简单随机抽样法                                         (B)抽签法

(C)随机数表法                                             (D)分层抽样法

【答案】D

【解析】本小题主要考查抽样方法。若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样。故选D。

(6)函数y=10^x2-1 (0＜x≤1＝的反函数是

(A)                          (B)(x＞)

(C) (＜x≤            (D) (＜x≤

【答案】D

【解析】本小题主要考查反函数的求法。由得：，即。又因为时，，从而有，即原函数值域为。所以原函数的反函数为，故选D。

(7)函数f(x)=的最大值为

(A)                          (B)                          (C)                (D)1

【答案】B

【解析】本小题主要考查均值定理。（当且仅，即时取等号。故选B。

(8)若双曲线的左焦点在抛物线y²=2px的准线上，则p的值为

(A)2                                   (B)3                             (C)4                 (D)4 

【答案】C

【解析】本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质。双曲线的左焦点坐标为：，抛物线的准线方程为，所以，解得：，故选C。

(9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为

(A)                        (B)                         (C)                   (D)

【答案】B

【解析】本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。，故选B。

(10)若(x+)ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x⁴项的系数为

(A)6                                   (B)7                             (C)8                    (D)9

【答案】B

【解析】本小题主要考查二项式定理的基础知识。因为的展开式中前三项的系数、、成等差数列，所以，即，解得：或（舍）。。令可得，，所以的系数为，故选B。

(11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为

(A)模块①，②，⑤                                         (B)模块①，③，⑤

(C)模块②，④，⑥                                      (D)模块③，④，⑤

【答案】A

【解析】本小题主要考查空间想象能力。先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其它两块。

（12）函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是

(A)[-]                                                     (B)[-]

(C)[-]                                                     (D)[-]

【答案】C

【解析】本小题主要考查函数值域的求法。令，则，当时，，当且仅当时取等号。同理可得当时，，综上可知的值域为，故选C。

（13）已知集合，则

                 .

【答案】

【解析】本小题主要考查集合的简单运算。，

（14）若则＝           .

【答案】-23

【解析】本小题主要考查指数的运算。

（15）已知圆C： （a为实数）上任意一点关于直线l：x-y+2=0

      的对称点都在圆C上，则a=          .

【答案】-2

【解析】本小题主要考查圆的一般方程及几何性质，由已知，直线经过了圆心，所以，从而有。

（16）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A₁、B₁、C₁上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有        种（用数字作答）.

【答案】12

【解析】本小题主要考查排列组合的基本知识。先安排底面三个顶点，共有种不同的安排方法，再安排上底面的三个顶点，共有种不同的安排方法。由分步记数原理可知，共有种不同的安排方法。

(17)（本小题13分）

     解：(Ⅰ)由余弦定理，

         (Ⅱ)

(18)（本小题13分）

     解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为.

     由独立重复试验的概率计算公式得：

     (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为

     (Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为

         解法二：至少有一道题答对的概率为

(19)(本小题12分)

     解：(Ⅰ)因

             所以

             即当

             因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，

             所以

             解得

         (Ⅱ)由(Ⅰ)知

（20）（本小题12分）

解：（1）如答（20）图，过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=

.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=,BD=BB′?sinBB′D

=.

（Ⅱ）连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB′为矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角.

在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，则由余弦定理，

BC=.

因BD平面，且DCCA，由三策划线定理知ACBC.

故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.

因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin

（21）（本小题12分）

解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.

因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=,

所以双曲线的方程为x^2-=1.

(II)解法一：

由（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.

因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=.

R所以双曲线的方程为x²-=1.

(II)解法一：

由（I）及答（21）图，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|²,       ①

知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2.     ②

将②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以

|PN|=.

因为双曲线的离心率e==2,直线l:x=是双曲线的右准线，故=e=2,

所以d=|PN|,因此

解法：

设P（x,y），因|PN|1知

|PM|=2|PN|²2|PN|>|PN|,

故P在双曲线右支上，所以x1.

由双曲线方程有y²=3x²-3.

因此

从而由|PM|=2|PN|²得

2x+1=2(4x²-4x+1)，即8x²-10x+1=0.

所以x=(舍去x=).

有|PM|=2x+1=

d=x-=.

故

（22）（本小题12分）

解：（I）因a₁=2,a₂=2^-2,故

由此有a₁=2^(-2)0, a₂=2^(-2)4, a₃=2^(-2)2, a₄=2^(-2)3,

从而猜想a_n的通项为

,

所以a_2xn=.

(Ⅱ)令x_n=log₂a_n.则a₂=2^x2,故只需求x₂的值。

   设S_n表示x₂的前n项和，则a₁a₂…a_n=,由2≤a₁a₂…a_n＜4得

   ≤S_n＝x₁+x₂+…+x_n＜2(n≥2).

因上式对n=2成立，可得≤x₁+x₂，又由a₁=2,得x₁＝1,故x₂≥.

由于a₁=2，(n∈N*),得(n∈N*),即

，

因此数列｛x_n+1+2x_n｝是首项为x₂+2,公比为的等比数列，故

x_n+1+2x_n=(x₂+2) (n∈N*).

将上式对n求和得

S_n+1－x₁+2S_n=(x₂+2)(1++…+)=(x₂+2)(2－)（n≥2）.

因S_n＜2，S_n+1＜2（n≥2）且x₁=1,故

(x₂+2)(2－)＜5（n≥2）.

因此2x_2－1＜（n≥2）.

下证x₂≤，若淆，假设x₂＞，则由上式知，不等式

2^n－1＜

对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x₂≤.

又x₂≥，故z₂=，所以a₂=2=.