2008年普通高等学校校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
注意事项:
1答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。不能答在试卷上。
一、本题共8小题。每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(2)若a=2a,b=log,3,c=log,sin,则
(A)a>b>c (B)b>a>c
(C)c>a>b (D)b>c>a
(3)“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件
(4)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的烛1,则点P的轨迹为
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线
x-y+1≥0,
(5)若实数x,y满足 x+y≥0, 则z=3x+y的最小值是
x≤0,
(A)0 (B)1 (C) (D)9
(6)已知数列|an|对任意的p,q∈Nm满足ap+q=ap+aq,且aP=-6,那么ap+q等于
(A)-165 (B)-33 (C)-30 (D)-21
(7)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,综们之间的夹角为
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
(8)如图,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上。过点P作垂直平面BB1D1D的直线,与正方体面相关于M、N,设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是
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2008年普通高等学校校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)
第Ⅱ卷(选择题 共40分)
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
二
15
16
17
18
19
20
总分
分数
得分
评分人
二填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。
(9)已知(a-i)2=2i,其中I是虚数单位,那么实数a= 。
(10)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么b?(2a+b)的值为 。
(11)若展开式的各项数之和为32,则n= ,其展开式中的常数项为
。(用数字作答)
(12)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))= ; = 。
(用数字作答)
(13)已知函数f(x)=x2=cos x,对于[-]上的任意x1,x2,有如下条件:
① x1>x2; ②x21>x22; ③|x1|>x2.
其中能使f(x1)> f(x2)恒成立的条件序是 .
(14)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点P1(x1,y1)处,其中x1=1,y1=1,当k≥2时,
x1=xx-1+1-5[T()-T()]
yk=yk+1+T()-T()
T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2,6)=2,T(0,2)=0.
按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ;第2008棵树种植点的坐标应为 。
得 分
评分人
(15)(本小题共13分)
三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
已知函数f(x)=sin2ωx+sinωxsin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0, ]上的取值范围.
得 分
评分人
(16)(本小题共14分)
如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(Ⅰ)求证:PC⊥AC;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小;
(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.
得 分
评分人
(17)(本小题共13分)
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岁位服务,每上岗位至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.
得 分
评分人
(18)(本小题共13分)
已知函数f(x)=,求导函数f1 (x),并确定f(x)的单调区间.
得 分
评分人
(19)(本小题共14分)
已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为l.
(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;
(Ⅱ)当∠ABC=60°,求菱形ABCD面积的最大值.
得 分
评分人
(20)(本小题共13分)
对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,…,an,定义变换T1,T1将数列A变换成数列T1(A):n,a1-1,a2-1,…,an-1.
对于每项均是非负整数的数列B:b1,b2, …,bm,定义变换T2,T2将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T2(B):又定义
S(B)=2(b1+2b2+…+mbm)+b21+b22+…+b2m.
设A0是每项均为正整数的有穷数列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)
(Ⅰ)如果数列A0为5,3,2,写出数列A2,A2;
(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T1(A))=S(A);
(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当k≥K时,S(Ak+1)=S(Ak).
2008年高考北京理科数学详解
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集,集合,,那么集合等于( )
A. B.
C. D.
【标准答案】: D
【试题分析】: CB=[-1, 4],=
【高考考点】:集合
【易错提醒】: 补集求错
【备考提示】: 高考基本得分点
2.若,,,则( )
A. B. C. D.
【标准答案】: A
【试题分析】:利用估值法知a大于1,b在0与1之间,c小于0.
【高考考点】: 函数的映射关系,函数的图像。
【易错提醒】: 估值出现错误。
【备考提示】: 大小比较也是高考较常见的题型,希望引起注意。
3.“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【标准答案】: B
【试题分析】: 函数存在反函数,至少还有可能函数在上为减函数,充分条件不成立;而必有条件显然成立。
【高考考点】: 充要条件,反函数,映射关系,函数单调性。
【易错提醒】: 单调性与一一对应之间的关系不清楚
【备考提示】: 平时注意数形结合训练。
4.若点到直线的距离比它到点的距离小1,则点的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
【标准答案】: D
【试题分析】: 把到直线向左平移一个单位,两个距离就相等了,它就是抛物线的定义。
【高考考点】: 二次函数的定义。
【易错提醒】: 没有转化的意识
【备考提示】: 基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。
5.若实数满足则的最小值是( )
A.0 B.1 C. D.9
【标准答案】: B
【试题分析】: 解出可行域的顶点,带入验证。
【高考考点】: 线性规划
【易错提醒】: 顶点解错
【备考提示】: 高考基本得分点。
6.已知数列对任意的满足,且,那么等于( )
A. B. C. D.
【标准答案】: C
【试题分析】: 由已知=+= -12,=+=-24,=+= -30
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 特殊性的运用
【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。
7.过直线上的一点作圆的两条切线,当直线关于对称时,它们之间的夹角为( )
A. B. C. D.
【标准答案】: C
【试题分析一】: 过圆心M作直线:y=x的垂线交与N点,过N点作圆的切线能够满足条件,不难求出夹角为60。
【试题分析二】:明白N点后,用图象法解之也很方便
【高考考点】: 直线与圆的位置关系。
【易错提醒】: N点找不到。
【备考提示】: 数形结合这个解题方法在高考中应用的非常普遍,希望加强训练。
8.如图,动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于.设,,则函数的图象大致是( )
【标准答案】: B
【试题分析】: 显然,只有当P移动到中心O时,MN有唯一的最大值,淘汰选项A、C;P点移动时,x与y的关系应该是线性的,淘汰选项D。
【高考考点】: 截面,线与面的位置关系。
【易错提醒】: 找不到特殊点O,或者发现不了O的特殊性。
【备考提示】: 加强空间想象力的训练,加强观察能力的训练。
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9.已知,其中是虚数单位,那么实数 .
【标准答案】: -1
【试题分析】: a-2ai-1=a-1-2ai=2i,a=-1
【高考考点】: 复数的运算
【易错提醒】: 增根a=1没有舍去。
【备考提示】: 高考基本得分点。
10.已知向量与的夹角为,且,那么的值为 .
【标准答案】: 0
【试题分析】: 利用数形结合知,向量a与2a+b垂直。
【高考考点】: 向量运算的几何意义
【易错提醒】: 如果使用直接法,易出现计算错误。
【备考提示】: 向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起考生注意。
11.若展开式的各项系数之和为32,则 ,其展开式中的常数项为 .(用数字作答)
【标准答案】: 5 10
【试题分析】: 显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和,也即n=5;将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项,C=10.
【高考考点】: 二项式
【易错提醒】: 课本中的典型题目,套用公式解题时,易出现计算错误
【备考提示】: 二项式的考题难度相对较小,注意三基训练。
12.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则 ;
.(用数字作答)
【标准答案】: 2 -2
【试题分析】: f(0)=4,f(4)=2;由导数的几何意义知-2.
【高考考点】: 函数的图像,导数的几何意义。
【易错提醒】: 概念“导数的几何意义”不清。
【备考提示】: 在函数、三角函数、平面向量、复数、解析几何、导数范围,数形结合是最常用的手段之一,希望引起足够重视。
13.已知函数,对于上的任意,有如下条件:
①; ②; ③.
其中能使恒成立的条件序号是 .
【标准答案】: ②
【试题分析】: 函数显然是偶函数,其导数y’=2x+sinx在0<x<时,显然也大于0,是增函数,想象其图像,不难发现,x的取值离对称轴越远,函数值就越大,②满足这一点。当x=,x=-时,①③均不成立。
【高考考点】: 导数,函数的图像,奇偶性。
【易错提醒】: 忽视了函数是偶函数。
【备考提示】: 加强导数综合应用的训练。
14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,,当时,
表示非负实数的整数部分,例如,.
按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ;第2008棵树种植点的坐标应为 .
【标准答案】: (1,2) (3, 402)
【试题分析】: T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。一一带入计算得:数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……;数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此,第6棵树种在 (1,2),第2008棵树种在(3, 402)。
【高考考点】: 数列的通项
【易错提醒】: 前几项的规律找错
【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到解题方法。
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
已知函数()的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.
【标准答案】: (见后)
【高考考点】: 三角函数式恒等变形,三角函数的值域。
【易错提醒】: 公式的记忆,范围的确定,符号的确定。
【备考提示】: 综合性大题的高考基本得分点,复习时,应该达到熟练掌握的程度。
16.(本小题共14分)
如图,在三棱锥中,,,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
【标准答案】: (见后)
【高考考点】: 直线与直线的垂直,二面角,点面距离
【易错提醒】: 二面角的平面角找不到,求点面距离的方法单一
【备考提示】: 找二面角的方法大致有十种左右,常见的也有五六种,希望能够全面掌握。
17.(本小题共13分)
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(Ⅲ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数,求的分布列.
【标准答案】:
【高考考点】: 概率,随机变量的分布列
【易错提醒】: 总的可能性是典型的“捆绑排列”,易把C混淆为A
【备考提示】: 近几年新增的内容,整体难度不大,可以作为高考基本得分点。
18.(本小题共13分)已知函数,求导函数,并确定的单调区间.
【标准答案】:
【高考考点】: 导数,导数的应用
【易错提醒】: 公式记忆出错,分类讨论出错
【备考提示】: 大学下放内容,涉及面相对较小,题型种类也较少,易于掌握。
19.(本小题共14分)
已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.
(Ⅰ)当直线过点时,求直线的方程;
(Ⅱ)当时,求菱形面积的最大值.
【标准答案】:
【高考考点】: 直线方程,最值
【易错提醒】: 不会使用判别式和韦达定理
【备考提示】: 解析几何的综合题在高考中的“综合程度”往往比较高,注意复习时与之匹配。
20.(本小题共13分)
对于每项均是正整数的数列,定义变换,将数列变换成数列
.
对于每项均是非负整数的数列,定义变换,将数列各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列;
又定义.
设是每项均为正整数的有穷数列,令.
(Ⅰ)如果数列为5,3,2,写出数列;
(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列,证明;
(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列,存在正整数,当时,.
【标准答案】:
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 入口出错
【备考提示】: 由一个数列为基础,按着某种规律新生出另一个数列的题目,新数列的前几项一定不难出错,它出错,则整体出错。
2008年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9. 10. 11.5 10 12.
13.② 14.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(共13分)
解:(Ⅰ)
.
因为函数的最小正周期为,且,
所以,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
因为,
所以,
所以,
因此,即的取值范围为.
16.(共14分)
解法一:
(Ⅰ)取中点,连结.
,
.
,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ),,
.
又,
.
又,即,且,
平面.
取中点.连结.
,.
是在平面内的射影,
.
是二面角的平面角.
在中,,,,
.
二面角的大小为.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,
平面平面.
过作,垂足为.
平面平面,
平面.
的长即为点到平面的距离.
由(Ⅰ)知,又,且,
平面.
平面,
.
在中,,,
.
.
点到平面的距离为.
解法二:
(Ⅰ),,
.
又,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则.
设.
,
,.
取中点,连结.
,,
,.
是二面角的平面角.
,,,
.
二面角的大小为.
(Ⅲ),
在平面内的射影为正的中心,且的长为点到平面的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系.
,
点的坐标为.
.
点到平面的距离为.
17.(共13分)
解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.
(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么,
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.
(Ⅲ)随机变量可能取的值为1,2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务,
则.
所以,的分布列是
1
3
18.(共13分)
解:
.
令,得.
当,即时,的变化情况如下表:
0
当,即时,的变化情况如下表:
0
所以,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
在上单调递减.
当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
当,即时,,所以函数在上单调递减,在上单调递减.
19.(共14分)
解:(Ⅰ)由题意得直线的方程为.
因为四边形为菱形,所以.
于是可设直线的方程为.
由得.
因为在椭圆上,
所以,解得.
设两点坐标分别为,
则,,,.
所以.
所以的中点坐标为.
由四边形为菱形可知,点在直线上,
所以,解得.
所以直线的方程为,即.
(Ⅱ)因为四边形为菱形,且,
所以.
所以菱形的面积.
由(Ⅰ)可得,
所以.
所以当时,菱形的面积取得最大值.
20.(共13分)
(Ⅰ)解:,
,
;
,
.
(Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列为,
则为,,,,,
从而
.
又,
所以
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