西安中学
师大附中
高2009届第二次模拟考试
高新一中
长安一中
数学试题（理科）
命题人：西安中学 薛党鹏
审题人：长安一中 岳建良
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.
第I卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题
每小题5分，共60分
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．集合
，
，则
=
A.
B.
C.
D.
2. 函数y＝8sin4xcos4x的最小正周期是
A.2π B.4π C. D.
3． ＝
A. i
B.－i
C.
D.－
4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A.
B. 
C. 
D. 
5. 若
，则标准正态总体在区间（―3，3）内取值的概率为
A．0.9987 B．
6. 已知
是两条不同直线，
是三个不同平面，下列命题中正确的是
A．
B．
C．
D．
7. 
A. 
B
D. 
8.若双曲线
的离心率为2,则双曲线
的离心率为
A．
B．
C．2
D．
9. 设
，则下列不等式中成立的是
A．
B．
C．
D．
10．设
为
所在平面内一点，且
，则
的面积与的面积之比为
A．
B．
C．
D．
11. 从圆
外一点
向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
12. 已知
为定义在
上的可导函数,且
对于
恒成立,则
A. 
,
B. 
,
C. ,
D.,
第II卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
把答案填在题中横线上
13.已知正数
、
满足
，则
的最小值为________.
14. 表面积为
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ．
15. 二项式
的展开式中的常数项为________.(结果用数值作答).
16. 如果一个函数的图象关于直线
对称,则称此函数为自反函数. 使得函数
为自反函数的一组实数
的取值为________
三、解答题：本大题共6小题，共74分
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本题满分12分）已知函数
.
（Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数
的图象(不要求写出作图过程).
（Ⅱ）令
，
.求函数
的图象与轴交点的横坐标.
18. (本题满分12分) 按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．
（I）求该班学生参加活动的人均次数
；
（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率
．
（III）从该班中任选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望
．
（要求：答案用最简分数表示）
19．（本题满分12分）如图所示，在矩形
中，
，点
是
的中点，将
沿
折起到
的位置，使二面角
是直二面角.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值.
21. （本题满分12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=
x2的焦点，离心率等于
.直线
与椭圆Γ交于
两点.
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
(Ⅱ) 椭圆Γ的右焦点
是否可以为
的垂心？若可以,求出直线的方程；若不可以,请说明理由.
21.（本题满分12分）设函数
的定义域为
，记函数
的最大值为
.
（Ⅰ）求的解析式;
（Ⅱ）已知
,试求实数
的取值范围.
22. （本题满分14分）已知正项数列
满足对一切
,有
，其中
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ) 求证: 当
时, 
.
西安中学
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高2009届第一次模拟考试
高新一中
长安一中
数学答题纸（理科）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题:(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13. , 14. . 15. . 16. .
三、解答题:(本大题共6小题，共74分)
17.（Ⅰ）
（Ⅱ）
18. （Ⅰ）
（Ⅱ）
19. （Ⅰ）
（Ⅱ）
20. （Ⅰ）
（Ⅱ）
21. （I）
(II)
22. （Ⅰ）
（Ⅱ）
西安中学
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高2009届第二次模拟考试
高新一中
长安一中
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
A
B
D
A
D
D
A
B
A
二.填空题
13. 
.; 14. 
; 15. 15;
16. 
,
可以填写任意实数
三、解答题
17．（Ⅰ）
(Ⅱ)
由
得
,从而
,即 
.所以,函数
与
轴交点的横坐标为
.
12分
18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．
（I）该班学生参加活动的人均次数为
=
． 3分
（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
．
6分
（III）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件
，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件
，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件
．易知
；
8分
.
10分
的分布列：
0
1
2
的数学期望：
．
12分
19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，
易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，
∴BE⊥面D′EC，又CD′
面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分
（Ⅱ）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC
垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC
∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，
∴MF是D′F在平面BEC上的射影，
由三垂线定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.
在Rt△D′MF中，
。∴
，
即二面角D′―BC―E的正切值为
.
12分
法二：如图，以EB，EC为x轴，y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，则
设平面BEC的法向量为
；平面D′BC的法向量为
由
.取
∴
。
∴二面角D′―BC―E的的正切值为.
20. (Ⅰ）设C方程为
，则b = 1.
∴椭圆C的方程为
…………………………………………………6分
（Ⅱ）假设存在直线
,使得点
是
的垂心.易知直线
的斜率为
，从而直线的斜率为1.设直线的方程为
，代如椭圆的方程，并整理可得
.设
，则
，
.于是
解之得
或
.
当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.当
时，经检验知和椭圆相交，符合题意. 所以，当且仅当直线的方程为
时, 点是的垂心. 12分
21. （Ⅰ）注意到当
时, 直线
是抛物线
的对称轴，分以下几种情况讨论.
(1) 当a>0时，函数y=
, 
的图象是开口向上的抛物线的一段，
由<0知在
上单调递增，∴
.
(2)当a=0时，
, ,∴
. 3分
(3)当a<0时,函数y=, 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若
，即
则
4分
若
，即
,则
5分
若
，即
,则.
6分
综上有
7分
（Ⅱ）当
时，
，所以， g(a)在
上单调递增，于是由g(a)的不减性知
等价于
或
解之得
或
.所以，
的取值范围为
.
12分
22.(Ⅰ)对一切
有
，即 
, 
(
) 4分
由
及
两式相减,得: 
∴
是等差数列,且
,
.
8分
说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解.给分时,猜想正确得3分,证明给5分.
(Ⅱ) 由,知
,因此,只需证明
.
10分
当
或
时,结论显然成立.当
时,
所以,原不等式成立. 14分
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