云南省曲靖一中2009届高三高考冲刺卷（八）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
1．已知全集
，则
为
A．{1，2} B．{
，2） C．{，0） D．{，0，2）
2．已知复数
，则
等于
A．2 B．
C．
D．
3．已知两个正数
的等差中项为5，等比中项为4，则椭圆
的离心率
等于
A．
B．
C．
D．
4．在平面直角坐标系中，已知向量
，且
，那么
等
于
A．2或 B． D．0
5．已知变量
，
满足约束条件
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．[3，6]
6．等差数列
的前
项和为
，若
，则
等于
A．16 B．
7．
为矩形
所在平面外一点，且
平面
，则四棱锥
的体积等于
A．2 B．
8．设
是定义在
上的奇函数，若当
时，
，则满足
的
取值范围是
A．（0，1） B．（1，
）
C．
D．
9．已知定点
，且
，动点满足
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．5
10．某一批油菜种子，如果每一粒种子发芽的概率是
，那么种下4粒种子恰有2粒发芽
的概率是
A．
B．
C．
D．
11．已知圆的方程为
，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为
和
，则四边形的面积为
A．
B．
C．
D．
12．棱长为1的正方体
及其内部一动点，集合
，则
构成的几何体表面积为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题。每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．已知
，则
．
14．已知
（
是正整数）的展开式中，
的系数小于120，则
．
15．设函数
的图象为
，函数
的图象为
，若与关于
直线
对称，则
．
16．已知函数
（
为常数）图象上
处的切线与直线
的
夹角为45°，则点的横坐标为
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知
的面积为3，且满足
．设
与
的夹角为
．
（1）求的取值范围
；
（2）当
时，求函数
的最小值和最大值．
18．（本小题满分12分）
某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出的3种商品至少有一种日用商品的概率；
（2）商场对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高180元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否是等概率的．
请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利?
19．（本小题满分12分）
如图，四面体中，
是的中点，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求异面直线
与
所成角的大小；
（3）求二面角
的大小．
20．（本小题满分12分）
已知
且
，数列中，
，令
．
（1）若
，求数列
的前项和；
（2）若
,
，求
的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，其中也是抛物线
的焦点，是与在第一象限的交点，且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知菱形的顶点
在椭圆上，顶点
在直线
上，求直线的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数
，该函数图象在点
的切线为
，设切线交轴、轴分别为
和
两点．
（1）将
（为坐标原点）的面积
表示为
的函数
；
（2）若函数
的图象与轴交于点
，则
与
的大小关系如何?请证明你的结论；
（3）若在
处，取的最小值，求此时的值及的最小值．
1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C 9．C 1 0．B
11．B 12．D
1．
．
2．
3．
是方程
的根，
或8，又
，
．
4．
．
5．画出可行域，如图，
可看为区域内的点与（0，0）连线的斜率，
．
．
6．
7．在
中，
，在
中，
，
在
中，
，在
中，
，
．
8．
的图象如图所示
的解集为
．
9．由
知
点的轨迹是以
，
为焦点的双曲线一支．
，
．
10．由独立重复试验的概率
．
11．设
，圆为
最长弦
为直径，最短弦
的中点为
，
12．几何体的表面积是三个圆心角为
、半径为1的扇形面积与半径为1的球面积的
之和，即表面积为
．
二、
13．
平方得
．
14．
的系数
15．1．
与
互为反函数，
令
，
．
16．0或 
，设点的横坐标为
点处的切线斜率为
，由夹角公式得
，即
若
，得
，矛盾
若
或
．
三、
17．（1）
，由
，得
，消去
得
．
．
（2）
，
．
时，
的最大值为
时，的最大值为2．
18．（1）从3种服装商品、2种家电商品，4种日用商品中，选出3种商品，一共有
种不同的选法．选出的3种商品中，没有日用商品的选法有
种。所以选出的3种商品至少有一种日用商品的概率为
．
（2）假设商场将中奖奖金数额定为
元，则顾客在三欢抽奖中所获得的奖金总额是一个随机变量
，其所有可能的取值为
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
．
要使促销方案对商场有利，因此应有
，
．
故商场应将中奖奖金数额最高定为120元．才能使促销方案对自己有利．
19．（1）证明：
．
连接
．
，又
即
平面
．
（2）方法1 取
的中点，的中点
，
为的中点，
或其补角是
与
所成的角．
∴连接
是
斜边上的中线，
，
．
在
中，由余弦定理得
，
∴直线与所成的角为
．
（3）方法l
平面
，过
作
于
，连接
,
是在平面上的射影，由三垂线定理得
．
是二面角
的平面角，
，又
．
在
中，
，
．
∴二面角为
．
（2）方法2
建立空间直角坐标系
．
则
．
．
∴直线与所成的角为．
（3）方法2
在坐标系中，平面的法向量
．
设平面
的法向量
，则
，
求得
，
∴二面角为
．
20．
是首项为
、公比为的等比数列，
（1）当
时，
两式相减得
．
（2）
当
时，
，
，对
，
，而，
时，
成立，即
．
当
时，
．
对递增，
时，
时，
对成立，即，
综上得，的取值范围是
．
21．（1）设
．
由抛物线定义，
，
．
在
上，
，又
或
舍去．
∴椭圆的方程为
．
（2）∵直线的方程为
为菱形，
，设直线的方程为
、
在椭圆上，
．
设
，则
．
．
的中点坐标为
，由
为菱形可知，点在直线
上，
∴直线的方程为
，即
．
22．（1）
，切线
的议程为
，即
.
令
得
，令
得
，
，
．
（2）由
及
得
，即
．
于是
当且仅当
，即
时，等号成立．
时，
时，
．
（3）
由
得
当
，即
时，
，
当
，即
时，
时，
取得最小值，最小值为
．
由
，得
，此时，最小值为
．
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