郑州四中2008―2009学年高三第四次调考试题
理科数学 命题人：郑培山
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若集合
，则
= （
）
A、
B、
C、
D、
2、．对于
，下列结论成立的是（ ）
A．Z是零 B．Z是负实数 C．Z是正实数 D．Z是纯虚数
3、下列关系中，成立的是 ( )
A．
B．
C．
D．
4、已知函数
的反函数是
，那么函数
的图象是
( )
（A） （B） （C） （D）
5、设Sn是等差数列
前n项和，符合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6、过点
的直线l经过圆
的圆心，则直线l的倾斜角大小为（ ）
A．150° B．120° C．30° D．60°
7、若偶函数
在区间[－1，0]上是减函数，
是锐角三角形的两个内角，且
，则下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8、曲线
在
处的切线的斜率为 （ ）
A 
B 
C 
D 
9、若向量
，则
与
一定满足（ ）
A、与的夹角等于
B、
C、
D、
10、已知
，且
，则下列不等式不正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
11、若
，且函数
在
上单调递增，则
的取值范围是:
A. 
B. 
C. 
D.
12、如图，椭圆
+
= 1（a＞b＞0）的离心率e =
，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于D，则tan∠BDC的值等于（ ）
A．3
B．－3 C．－
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
13、函数
的定义域是 .
14、点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为______
15、
.
16、不等式组
所确定的平面区域记为
，若⊙
：
上的所有点都在区域上，则⊙周长的最大值是
.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
在
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知
，的外接圆半径为
．
（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求
的最大值．
18、（本小题满分12分）
甲乙两人参加奥运知识竞赛，已知甲乙两人答对每题的概率分别为
与
，且答对得1分，答错得0分．
（1）甲乙各答一题，求得分之和的分布列及期望；
（2）甲乙各答两题，求四次至少对一次的概率。
19．（本小题满分12分）
已知数列
中，其前
项和
满足
是大于0的常数），且
.
（I）求
的值；
（II）求数列的通项公式
；
（III）设数列
的前项和为
，求.
20．（本小题满分12分）
已知函数
．
（Ⅰ）当
时，试分析函数
的极值，若存在，求出其极值；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）若函数是R上的增函数，求a的取值范围．
21、（本小题满分12分）
已知椭圆的焦点是
、
，过
并垂直于
轴的直线与椭圆的一个交点为B，且
，椭圆上的不同两点
、
满足条件
成等差数列.
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为
,求
的取值范围.
22、(本小题满分12分)
已知数列
中，
，
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）已知
，证明：
；
郑州四中2008―2009学年高三第四次调考试题
1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B
11.A 12．B
13．
14． 
15． 
16．
17．(本小题满分12分)
（Ⅰ）由正弦定理知sinA=
，sinB
，sinC=
．
∴ 2
，
∴ 
．
∴
，
．
（Ⅱ）∵ 
=
=
=
=
=
=
．
，∴
，
∴当
时，即
时
．
18．（本小题满分12分）
解（1）记得分之和为随机变量
则＝0，1，2 其中
0
1
2
P
（2）
19、(本小题满分12分)
（I）解：由
得
，
（II）由
，
∴数列{
}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
当n=1时a1=1满足
（III）
①
，②
①－②得
，
则
.
20、(本小题满分12分)
解：
（Ⅰ）∵
．
∴当
时，
．
因为，
对一切
成立，
所以，
对一切成立，所以
是R上的减函数，
因此，没有极值．
（Ⅱ）∵是R上的增函数，故
在R上恒成立，
即
在R上恒成立．
令
，可得，
．
由
，得
或
．
因此，函数
在
上单调递减，在（－1，1）上单调递增，
在（1，+
）上单调递减．
∴当时，有极小值
，当时，有极大值
．
又
，故知为函数的最小值．
∴
，但是当
时，也是R上的增函数．
因此a的取值范围是
．
21、(本小题满分12分)
解：(1)由椭圆定义及已知条件知
又c=4，∴b2=a2-c2=9.
故椭圆方程为
+
=1.
(2)由点B在椭圆上，可知|F2B|=|yB|=
，而椭圆的右准线方程为x=
，离心率为
，
由椭圆定义有|F2A|=(-x1)，|F2C|=(-x2).
依题意|F2A|+|F2C|=2|F2B|.
则(-x1)+(-x2)=2×.
∴x1+x2=8.
设弦AC的中点为P(x0，y0)，则x0=
=4,
即弦AC的中点的横坐标为4.
(3)由A(x1,y1)，C(x2,y2)在椭圆上得9x12+25y12=9×25，9x22+25y22=9×25.
两式相减整理得9()+25(
)(
)=0(x1≠x2).
将=x0=4，=y0，=-
(k≠0)代入得
9×4+25y0(-)=0,即k=
y0.
由于P(4,y0)在弦AC的垂直平分线上，
∴y0=4k+m,于是m=y0-4k=y0-
y0=-
y0.
而-<y0<，∴-
<m<.
22、(本小题满分12分)
解：（I）①
时，
，
故结论成立．
②假设
时结论成立，即
．
∴
，即
．
也就是说
时，结论也成立．
由①②可知，对一切
均有
．
（Ⅱ）要证
，即证
，其中
．
令
，
．
由
，得
．
+
0
―
极大值
又
，
．
∴当
，
，∴
．
∴
，即
．
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