2008―2009学年第一学期中段学业质量监测
高三理科数学试卷
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．
参考公式：
锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
如果事件
、
互斥，那么
．
如果事件在一次试验中发生的概率是
，那么在
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集
集合
,
,则
( )
A.
B.
C.
D. 
2.已知几何体的三视图如图1所示，它的表面积
是（ ）
A.
B. 
C.
D.6
3.已知双曲线
的中心在原点, 右焦点与抛物线
的焦点重合,则
该双曲线的离心率等于( )
A. 
B. 
C. 
D. 
4.函数
的图象如图2所示.观察图象可知
函数的定义域、值域分别是（ ）
A.
,
B.
C.,
D.
5. 设命题
：曲线
在点
处的切线方程是:
命题
：
是任意实数,若
,则
.则( )
A．“或”为真 B．“且”为真
C．假真 D．,均为假命题
6.为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班
60名学生，将所得数据整理后，画出其频率
分布直方图（如图3），已知从左到右各长方形
高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数
学成绩在（80，100）之间的学生人数是（ ）
A. 32人 B. 27人 C. 24人 D. 33人
7.函数
的最小正周期是
,则函数
的一个单调递增区间是( )
A. 
B. 
C.
D.
8.若偶函数
满足
且
时,
则方程
的零点个数是( )
A. 2个 B. 4个 C. 3个 D. 多于4个
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分.
（一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答．
9．二项式
的展开式中含
项的系数等于－28，则
10.从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 .
11.定义某种运算
,运算原理
,
如图4所示,则式子:
的
值是 .
12.在区域
内
随机撒一把黄豆,落在区域
内
的概率是 .
（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分．
13. （坐标系与参数方程选做题）若直线
与圆
（
为参数）相切,则实数m的值是
.
14．（不等式选讲选做题）如果关于
的不等式
的解集为R, 则的取值范围是
.
15.（几何证明选讲选做题）如图5, AB为⊙O的直径, AC切⊙O于点A,且
,过C的割线CMN交AB的延长线于点D,CM=MN=ND.AD的长等于 
.
 |
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知：A、B、C是
的内角，
分别是其对边长，向量
，
，
.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若
求的长.
17．（本题满分12分）
数列
是递增的等比数列，且
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若
,求证数列
是等差数列;
(Ⅲ)若
……
,求
的最大值.
18. （本题满分14分）
某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是
,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?
19. （本小题满分14分）
如图6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP
AB，AB=BC=
，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将
沿CD折起，使得
平面ABCD,如图7.
（Ⅰ）求证：AP//平面EFG；
(Ⅱ) 求二面角
的大小;
（Ⅲ）求三棱椎
的体积.
 |
20. （本小题满分14分）
已知长方形ABCD, AB=2
, BC=1. 以AB的中点
为原点建立如图8所示的平面直角坐标系
.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线
交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
21.（本小题满分14分）
已知
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在 
上的最小值;
(Ⅲ)对一切的
,
恒成立,求实数的取值范围.
2008―2009学年第一学期中段学业质量监测
一、选择题：(共8题,每小题5分,满分40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
C
A
D
B
B
二、填空题：（每题5分，共30分）
9.
8 10.
60 11. 8
12. 
13.
10或0(答对一个给3分) 14. 
15. 
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16．（本题满分12分）
解:(Ⅰ) 
=
……1分
=
……2分
∵
……4分
……6分
∵
……7分
.……8分
(Ⅱ)在
中，
，
，
……9分
由正弦定理知：
……10分
=
.
……12分
17. 本题满分12分
解:(Ⅰ)由 
知
是方程
的两根,注意到
得 
.……2分
得
.
等比数列.
的公比为
,
……4分
(Ⅱ)
……5分
……7分
数列
是首项为3,公差为1的等差数列. ……8分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列是首项为3,公差为1的等差数列,有
……
=
……
=
……10分
∵
,整理得
,解得
.
……11分
的最大值是7. ……12分
18. 本题满分14分
解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有
种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有
种, 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为
.……4分
(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, 
,2,3.……6分
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以
……7分
同理可得
……8分
……9分
……10分
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
.……12分
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有
,所以
, …… 13分
故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. …… 14分
19.本题满分14分
.解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.
∵E,F分别为PC,PD的中点,∴
//
,同理
//
, 
//
四边形EFOG是平行四边形, 
平面EFOG. ……3分
又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA//EO……4分
平面EFOG,PA
平面EFOG, ……5分
PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分
方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO.
∵E,F分别为PC,PD的中点,∴//,同理
//
又
//AB,//
平面EFG//平面PAB, ……4分
又PA平面PAB,
平面EFG. ……6分
方法三)如图以D为原点,以
为方向向量建立空间直角坐标系
.
则有关点及向量的坐标为:
……2分
设平面EFG的法向量为
取
.……4分
∵
,……5分
又
平面EFG.
AP//平面EFG. ……6分
(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形
,又∵
面ABCD
又
平面PCD,向量
是平面PCD的一个法向量, =
……8分
又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为……9分
……10分
结合图知二面角
的平面角为
……11分
(Ⅲ)
……14分
20. 本题满分14分
(Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为
.……1分
设椭圆的标准方程是
.……2分
则
……4分
.……5分
椭圆的标准方程是
……6分
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线
的方程为
.……7分
设M,N两点的坐标分别为
联立方程:
消去
整理得,
有
……9分
若以MN为直径的圆恰好过原点,则
,所以
,……10分
所以,
,
即
所以,
即
……11分 得
……12分
所以直线的方程为
,或
.……13分
所以存在过P(0,2)的直线:
使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. ……14分
21: 本题满分14分
(Ⅰ)
……2分
……4分
(Ⅱ)
(?)0<t<t+2<
，t无解；……5分
(?)0<t<<t+2，即0<t<时，
；……7分
(?)
，即
时，
，
……9分
……10分
(Ⅲ)由题意:
即
可得
……11分
设
,
则
……12分
令
,得
(舍)
当
时,
;当
时, 
当
时,
取得最大值, 
=-2……13分
.
的取值范围是
.……14分
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