四川省遂宁市2009届高三第三次诊断性考试（数学文）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷1至3页。第Ⅱ卷4至10页。总分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、学校、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件、相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次实验中发生的概率为
，那么
次独立重复实验中恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
一、选择题
1．已知全集
，
，
或
，那么集合
A．
}
B．
或
}
C．
D．
2．函数
的图象的两条相邻对称轴间的距离为
A．
B．
C．
D．
3．在
的展开式中的
系数等于
A．
B．
C．
D．
4．直线
截圆
所得的弦长为
A．1
B．
C．2
D．
5．平面
平面
的一个充要条件是
A．存在一个平面
B．存在一条直线
C．存在一个平面
D．存在一条直线
6．若是实数
满足
，则下列不等关系正确的是
A．
B．
C．
D．
7．在等差数列
中，
为前
项和，且
，则中最大的是
A．
B．
C．或
D．
8．如果以原点为圆心的圆必过双曲线
的焦点，而且被双曲线
的右准线分成2：1的两段圆弧。那么该双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
9．四面体
的外接球球心在
上，且
，
，在外接球面上
，
两点间的球面距离是
A．
B．
C．
D．
10．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离 为
米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为
A．
（米/秒） B．
（米/秒）
C．
（米/秒） D．
（米/秒）
11．已知正方体
中，
为
中点，棱长为2，
是平面上的动点，且满足条件
，则动点在平面上形成的轨迹是
A．圆 B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
12．若自然数
使得作竖式加法
均不产生进位现象，则称为“可连数”。例如：32是“可连数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“可连数”的个数为
A．9
B．
遂宁市高中2009届第三次诊断性考试
数 学（文史类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中；
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚；
3．本卷共10小题，共90分。
题号
二
三
总分
17
18
19
20
21
22
分数
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．已知
与
互为反函数，则
=___________________。
14．已知
，则不等式
的解集为______________。
15．已知
，则
的最小值是_____________。
16．下列四个命题中：
①将函数
的图象按向量
平移得到的图象对应的函数表达式为
；
②已知平面向量
，若
，则实数
；
③
是
的重心，则
④
两两所成角相等，
那么
是
其中是真命题的序号是________________________________________。
三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知向量
（I）当
时，求
的值；
（Ⅱ）求
在
上的值域。
18．（本小题满分12分）
在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是
，甲、丙两人都回答错的概率是
，乙、丙两人都回答对的概率是
（I）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。
19．（本小题满分12分）
如图所示，已知直四棱柱中，
，
，且满足
（I）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
20．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若关于的方程
有三个相异实根，求实数
的取值范围。
21．（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，
数列
的前项和是
，且
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列；
（Ⅲ）记
求
的前项和。
22．（本小题满分14分）
过轴上动点
引抛物线
的两条切线
、
，切点分别为、
（I）若切线，的斜率分别是
，求证：为定值；
（Ⅱ）求证：直线
过定点，并求出定点的坐标
（Ⅲ）要使
最小，求
?
的值
遂宁市高中2009届第三次诊断性考试
一、选择题（每小题5分，满分60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
D
B
B
A
C
C
A
D
A
D
二、填空题（每小题4分，满分16分）
13．-6 14．
15．
16．②③
三、解答题（第17、18、19、20、21题各12分，第22题14分，共74分）
17．（I）
（Ⅱ）
函数
的值域为
18．解：（I）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件
、、
，则
，且有
即
（Ⅱ）由（1）
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：
19．解：法一
（I）设
是
的中点，连结
，
则四边形
为方形，
，故
，
即
又
平面
（Ⅱ）由（I）知
平面，
又
平面，
，
取
的中点
，连结
又
，
则
，取
的中点
，连结
则
为二面角
的平面角
连结
，在
中，
，
取
的中点
，连结
，
，在
中，
二面角的余弦值为
法二：
（I）以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
又因为
所以，平面
（Ⅱ）设
为平面
的一个法向量。
由
得
取
，则
又
，
设
为平面
的一个法向量，由
，
，
得
取
取
设
与的夹角为
，二面角为
，显然为锐角，
，即为所求
20．解：（I）
或
故
的单调递增区间是
和
单调递减区间是（0，2）
（Ⅱ）
在
和
递增，在（-1，3）递减。
有三个相异实根
21．解：（I）设
的公差为
，则：
（Ⅱ）当
时，
，由
，得
当
时，
，
，即
是以
为首项，
为公比的等比数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
22．解：（I）设过
与抛物线
的相切的直线的斜率是，
则该切线的方程为：
由
得
则
都是方程
的解，故
（Ⅱ）设
由于
，故切线
的方程是：
则
，同理
则直线
的方程是
，则直线过定点（0，2）
（Ⅲ）要使
最小，就是使得到直线的距离最小，而到直线的距离
当且仅当
即
时取等号
设
由
得
，则
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