连云港市2006届高三第三次调研考试
数学
一、选择题：
1．不等式
的解集是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，
是函数
的反函数，若的图象过点
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．4 D．8
3．过原点的直线与圆
相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是(
)
A．
B．
C．
D．
4．已知点
,
,
,
．给出下面的结论：①
；②
；③
；④
. 其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
5．已知
N*)的展开式中含有常数项，则
的最小值是（ ）
Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．9 Ｄ．10
6．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙．现有编号为1～6的6种不同花色石材可供选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果共有 （ ）
A．350种 B．300种 C．65种 D．50种
7．若
是两条不重合的直线，
是两个不重合的平面，则
∥
的一个充分而不必要条件是
（ ）
A．
∥,且
∥ B．
且∥
C．
,
,且∥
D．∥
∥,且∥
8．某电视机内的一种晶体管使用时间在10000小时以上的概率为
，则三个这样的晶体管在使用10000小时后最多有一个坏了的概率为
（ ）
A．0.014
B．
9．已知数列
中，
，对一切正整数n恒有
，则
的值为 （ ）
A．8 B．
10．若方程
在
上有解，则实数
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
∪
二、填空题：
11．若曲线
在
点处的切线与直线
平行，则点的坐标是 ．
12．已知实数
满足不等式组
，那么函数
的最大值是 ．
13．已知
，且
，那么
．
14．椭圆
的半焦距为
，直线
与椭圆的一个交点的横坐标恰为，则该椭圆的离心率为 ．
15．三棱锥
中，
平面ABC，
，若
，则该三棱锥外接球的体积是 ．
16．若函数
是二次函数且满足：对任意的
，都有
成立．则可以是 （只需写出一个即可）．
三、解答题：
17．（本小题12分）
已知
中，角A, B, C所对的边分别为
，且
．
（1）若角
为
，求
的值；
（2）若
，求
的值．
18．（本小题14分）
已知两个定点A、B的坐标分别为
和
，动点满足
（O为坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点C
的直线
与轨迹E在x轴上方部分交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于D点，求D点横坐标的取值范围．
19．（本小题14分）
如图，已知
是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱
的中点，
为
的中点．
（1）求证：
；
（2）求直线到平面
的距离；
（3）求二面角
的大小．
20．（本小题14分）
关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：
方案甲：按现状进行运营。据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元。
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力。港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上。
（1） 从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（2） 从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？
（收益＝收入－投资）
21．（本小题16分）
已知函数的定义域为
，且同时满足：①
；②
恒成立；③若
，则有
．
（1）试求函数的最大值和最小值；
（2）试比较
与
的大小N）；
（3）某人发现：当x=(nÎN)时，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：对一切xÎ(0,1
,都有
，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．
连云港市2006届高三第三次调研考试
一、选择题
BCDC BBCB AA
二、填空题
11．（-1，0）；12．4；13．-4；14．-1；15．；16．x2(注：本题答案不唯一，只要满足条件 a¹0,2|a|+|b|≤1即可)
三、解答题
17．解：由条件知20cos
解得sin
(1) 若∠C=60º,则cos2B=cos2(120º-A)=cos(240º
=-. ??????????????????????????????????????????????????????????????7分
(2) 若a<b<c,则A<60º.又由sin
∵(sinA-cosA)2=1-sin
18．解:(1)设P(x,y),则
=(x+1,y),
=(x-1,y),
∵
,∴(x+1)2=(x-1)2+y2,????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分
即y2=4x.
动点P的轨迹E的方程是y2=4x. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????4分
(2)设直线l的方程为x=k(y-1),代入轨迹E的方程y2=4x,整理得:y2-4ky+4k=0. ?????????6分
由题意知,(4k)2-4´4k>0且4k>0,解得k>1. ???????????????????????????????????????????????????????????8分
由根与系数的关系可得MN的中点坐标为(k(2k-1),2k),
∴线段MN垂直平分线方程为:y-2k=-k[x-k(2k-1)], ?????????????????????????????????10分
令y=0,得D点的横坐标x0=2k2-k+2,
∵k>1,∴x0>3,即为所求. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分
19．(1)证明:连结C1E,则C1E^A1B1,
又∵A1B
而A1B1//AB,∴AB^DE. ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分
(2)取AB中点为F,连结EF,DF,则EF^AB,∴AB^DF.
过E作直线EH^DF于H点,则EH^平面DAB,∴EH就是直线A1B1到平面DAB的距离.
在矩形C1EFC中,∵AA1=AB=2,∴EF=2,C1E=,DF=2,
∴在△DEF中,EH=,
故直线A1B1到平面DAB的距离为. ???????????????????????????????????????????????????????????9分
(3)过A作AM^BC于M点,则AM^平面CDB,
过M作MN^BD于N点,连结AN,则AN^BD,∴∠ANM即为所求二面角的平面角,
在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M为BC中点,∴MN=,
在Rt△AMN中,tan∠ANM=,
故二面角A-BD-C的大小为arctan. ???????????????????????????????????????????????????????????????14分
20．解：（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数。
在方案乙中，前4年的总收入为
=2600<6000, ?????????????????????????????????????????1分
故n必定不小于5，则由
2600+320´1.54(n-4)>6000， ?????????????????????????????????????4分
解得 n>6,故n的最小值为7，
答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资。 ????????????????????????????????????????????6分
（2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1,y2万元，则
y1=760n-[50n+n(n-1)?20]=-10n2+720n, ???????????????????????????????????????????????????????????????8分
当n≤4时，则y1>0,y2<0,可得y1>y2. ???????????????????????????????????????????????????????????9分
当n³5时，y2=2600+320´1.54(n-4)-6000=1620n-9880，
令y1<y2,可得1620n-9880>-10n2+720n,
即 n(n+90)>998, ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分
由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值为10.
答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲。 ??????????????????14分
21．解: (1)设0≤x1<x2≤1,则必存在实数tÎ(0,1),使得x2=x1+t,
由条件③得,f(x2)=f(x1+t)³f(x1)+f(t)-2,
∴f(x2)-f(x1)³f(t)-2,
由条件②得, f(x2)-f(x1)³0,
故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1). ????????????????????????????????????????????????????????????3分
又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2, ??????????????????????????????5分
故函数f(x)的最大值为3,最小值为2. ???????????????????????????????????6分
(2)解:在条件③中,令x1=x2=,得f()³
故当nÎN*时，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤???≤[f()-2]=,
即f()≤+2.
又f()=f(1)=3≤2+,
所以对一切nÎN,都有f()≤+2. ???????????????????????????????????????????????12分
(3)对一切xÎ(0,1
,都有
.
对任意满足xÎ(0,1，总存在n(nÎN),使得
<x≤, ????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分
根据（1）（2）结论，可知：
f(x)≤f()≤+2,
且2x+2>2´+2=+2,
故有.
综上所述，对任意xÎ(0,1,恒成立.
?????????????????????????????????????????????16分
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