1．若复数，则对应复平面上的点在                                （   ）

A．第一象限           B．第二象限         C．第三象限          D．第四象限

2．定积分的值为                                                （   ）

A．1                  B．2                C．3                 D．0

3．以下图形分别表示一个三次函数及其导数在同一坐标系中的图象，其中一定不正确的有 （   ）

A．1个                B．2个              C．3个              D．4个

4．函数的单调递增区间是                                        （   ）

A．   B．         C．           D．

5．已知函数，则等于                             （   ）

A．                 B．               C．                D．

6．已知，则的值为                                        （   ）

A．                B．                C．              D．不存在

7．设坐标平面上的抛物线C：，过第一象限的点作曲线C的切线，与轴的夹角为30^o，则的值为                                                  （   ）

A．              B．             C．               D．

8．已知，，且，则实数的值为             （   ）

A．                B．               C．                D．

9．若直线和⊙O：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为                                                         （   ）

A．至多1个          B．2个               C．1个              D．0个

10．函数是圆心在原点的单位圆的两段圆弧（如图），则不等式的解集为（   ）

A．

B．

C． 

D．

11．若，则与的大小关系是                                  （   ）

A．          B．       C．          D．与的值有关

12．偶函数在内可导，且，，则曲线 在点处切线的斜率为                           （   ）

A．               B．              C．               D．

第Ⅱ卷  （非选择题   共90分）

13．已知某圆的极坐标方程为，化为普通方程为______________________．

14．把由曲线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周，则旋转所形成的旋转体的体积为_____________．

15．已知，则_____________．

16．已知函数都是定义在上的函数，，，，，在有穷数列中，任意取正整数，前项和大于的概率是 _____________．

17．（本题满分10分）

已知复数，当为何值时，复数：

（1）是实数；

（2）是纯虚数．

18．（本题满分12分）

已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

19．（本题满分12分）

如图，在会展中心广场要临时搭建占地面积为平方米长宽不等的冰雕景区，四周有小路，冰雕景区长边外小路宽6米，短边外小路宽8米，冰雕景区长边长为米．对于给定的，怎样设计冰雕景区的长与宽，使冰雕景区和小路占地面积总和最小．

20．（本题满分12分）

如图，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AB=AC，D为BC中点， F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1．

（1）求证：AD⊥平面BB₁C₁C；

（2）若E为AD上不同于A、D的任一点，求证：EF⊥FC₁；

（3）若AB=3，求FC₁与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

21．（本题满分12分）

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的3个点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心，且，．

（1）求椭圆方程；

（2）动弦CP、CQ分别交轴于E、F两点，且， 求证：．

22.（本题满分12分）

已知函数的图象如图所示，与轴相切于点O，与正半轴相交于点A，且此函数图象与轴所围成区域（图中阴影部分）的面积为.

  （1）求函数的解析式；

  （2）设，如果过点可作函数的两条切线，

求证：点在函数 的图象上，或者在某条定直线上，并求出该直线方程；

  （3）设，求证：．

哈师大附中高二下学期期中考试数学答案（理科）

17.解：（1）若复数为实数，则有，或……5’

（2）若复数为纯虚数，则有且，……10’

18.解：（1）……1’

令，或，

令，……5’

的单调递增区间为，减区间为     ……6’

（2）当时，由（1）知在上递减，在上递增，

当时有最小值为，……9’

若当时不等式恒成立，则只须，即     ……12’

19.解：设冰雕景区的长为米，则宽为米，设总占地面积为平方米，依题意有

……3’，  ……4’ 

令得……5’

（1）当时，则，

此时，当且仅当时取等号    ……7’

（2）当时，则，

此时，函数在上单调递增，时，最小 ……9’

（3）当时，

此时，函数在上单调递减，时，最小 ……11’

答：当时，长取20米，宽取米，面积总和最小；

当时，长取米，宽取米，面积总和最小；

当时，长取30米，宽取米，面积总和最小。……12’

20.证明 (1)在直三棱柱中，⊥平面，面 ，⊥

又，为的中点，⊥，且面

⊥面                                     ……4’

 (2)连结，，⊥，又⊥面⊥且，面⊥面，面⊥……8’

(3)过作⊥于，连结，⊥面，且面，

面⊥面，且面面，又⊥，⊥面与平面所成的角为，在中，

与面所成的角的正弦值为                     ……12’

21.解：(1)设椭圆方程为：，，由已知

  ① ……2’                                                                       

，为等腰直角三角形②…4’

由①②得：，代入椭圆方程得，椭圆方程为……6’

(2),不妨设，设直线方程：

联立得，

………8         同理，………10’

且，，………12’ 

22解：（1）依题可知，，所以

        因为，所以则       

        令，则

        故所以（不符合题意，舍去）

        所以                                                 

（2）证明：由（1）知，，

设函数在点处的切线方程为        

若有一条切线过点，则存在实数，使

即

令，则

因为，所以，当或时，；当时，

所以，在处取得极大值，在处取得极小值

如果过点可作函数的两条切线，则方程有两个相异实根，所以或

即点满足在曲线上，或者点满足，在定直线

上                                                     

（3）令                    

  因为，所以，

  所以在上成立，即为上单调递增函数，

   所以成立，即成立.