题目列表(包括答案和解析)
已知函数的最小值为0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最小值;
(Ⅲ)证明().
【解析】(1)解: 的定义域为
由,得
当x变化时,,的变化情况如下表:
x |
|||
- |
0 |
+ |
|
极小值 |
因此,在处取得最小值,故由题意,所以
(2)解:当时,取,有,故时不合题意.当时,令,即
令,得
①当时,,在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的,总有,即在上恒成立,故符合题意.
②当时,,对于,,故在上单调递增.因此当取时,,即不成立.
故不合题意.
综上,k的最小值为.
(3)证明:当n=1时,不等式左边==右边,所以不等式成立.
当时,
在(2)中取,得 ,
从而
所以有
综上,,
已知函数在取得极值
(1)求的单调区间(用表示);
(2)设,,若存在,使得成立,求的取值范围.
【解析】第一问利用
根据题意在取得极值,
对参数a分情况讨论,可知
当即时递增区间: 递减区间: ,
当即时递增区间: 递减区间: ,
第二问中, 由(1)知: 在,
,
在
从而求解。
解:
…..3分
在取得极值, ……………………..4分
(1) 当即时 递增区间: 递减区间: ,
当即时递增区间: 递减区间: , ………….6分
(2) 由(1)知: 在,
,
在
……………….10分
, 使成立
得:
设函数f(x)=在[1,+∞上为增函数.
(1)求正实数a的取值范围;
(2)比较的大小,说明理由;
(3)求证:(n∈N*, n≥2)
【解析】第一问中,利用
解:(1)由已知:,依题意得:≥0对x∈[1,+∞恒成立
∴ax-1≥0对x∈[1,+∞恒成立 ∴a-1≥0即:a≥1
(2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞)上为增函数,
∴n≥2时:f()=
(3) ∵ ∴
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问,利用函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中设切点为(x0,x03-3x0),因为过点A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分离参数∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函数求导数,判定单调性,从而得到要是有三解,则需要满足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依题意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)设切点为(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切线过点A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减.
∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2
画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范围是(-6,2).
已知函数,其中.
(1)若在处取得极值,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论函数在的单调性;
(3)若函数在上的最小值为2,求的取值范围.
【解析】第一问,因在处取得极值
所以,,解得,此时,可得求曲线在点
处的切线方程为:
第二问中,易得的分母大于零,
①当时, ,函数在上单调递增;
②当时,由可得,由解得
第三问,当时由(2)可知,在上处取得最小值,
当时由(2)可知在处取得最小值,不符合题意.
综上,函数在上的最小值为2时,求的取值范围是
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