5.     每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

4.     答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

当a<－4时，x₂>3＝x₁，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（3，?a?1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（?a?1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

当a>－4时，x₂<3＝x₁，则

在区间（－∞，?a?1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（?a?1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只须仅须

（a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范围是（0，）。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工农医类）（编辑：宁冈中学张建华）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题  共50分）

注意事项：

21．（本小题满分14分）

设是函数的一个极值点。

（Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（Ⅱ）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。

 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x²＋(a－2)x＋b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²＋(a－2)3＋b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

则 f `(x)＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是极值点，

于是将4、5代入3，化简后可得－＝.

从而，点B在以MN为直径的圆内。

20．（本小题满分14分）

设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。

（此题不要求在答题卡上画图）

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.

故椭圆的方程为 .

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x₀，y₀）.

∵M点在椭圆上，∴y₀＝（4－x₀²）.                       1

又点M异于顶点A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三点共线可以得

P（4，）.

从而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，）.

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）.      2

将1代入2，化简得?＝（2－x₀）.

∵2－x₀>0，∴?>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内。

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中点Q的坐标为（，），

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁                     3

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y₂＝                       4

又点M在椭圆上，则，即        5

故设奖得分数线约为83.1分。

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，

这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，

参赛总人数约为≈526（人）。

（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则