11.[05温州]如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分

别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。

⑴ 求x为何值时，PQ⊥AC；

⑵ 设△PQD的面积为y(cm²)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；

⑶ 当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；

⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)

[解]

⑴ ∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。

当，由题意得：BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x，

∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝60⁰，

若PQ⊥AC，则有∠QPC＝30⁰，∴PC＝2CQ

∴4－x＝2×2x，∴x＝，

∴当x＝(Q在AC上)时，PQ⊥AC；

⑵ 当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于H，

∵∠C＝60⁰，QC＝2x，∴QH＝QC×sin60⁰＝x

∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝2

∴DP＝2－x，∴y＝PD·QH＝(2－x)·x＝－

⑶ 当0＜x＜2时，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝60⁰，

∴HC＝x，∴BP＝HC

∵BD＝CD，∴DP＝DH，

∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH，　　 ∴OP＝OQ　　　 ∴S_△PDO＝S_△DQO，

∴AD平分△PQD的面积；

⑷ 显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离

当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切。

当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交。

10.[05杭州]为了参加市科技节展览,同学们制造了一个截面为抛物线形的隧道模型,用了三种正方形的钢筋支架.在画设计图时,如果在直角坐标系中,抛物线的函数解析式为,正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5∶1,求：

(1)抛物线解析式中常数的值;

(2)正方形MNPQ的边长.

[解](1)常数的值为　(2)正方形MNPQ的边长为　

9.[05乌鲁木齐]已知二次函数的图象过点M(0，-3)，并与x轴交于点A(x₁，0)、B(x₂，0)两点，且x₁²+x₂²＝10。试求这个二次函数的解析式。

[解]∵函数y=x²+b++c图象过点(0，-3)得c＝-3

∴函数解析式为y＝x²+bx-3

又∵该二次函数图象与x轴相交于A(x₁，0)，B(x₂，0)两点，所以方程y＝x²+bx-3

两个根分别为x₁，x₂

则有　　　 解得b＝

∴二次函数为y＝x²+2x-3或y＝x²-2x-3'

8．[05内江]教师提出：如图A(1,0)，AB＝OA，过点A、B作x轴的垂线交二次函数的图象于C、D两点，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为。

同学讨论发现：①2 ：3　 ②

⑴ 请你验证①②结论成立；

⑵ 请你研究：如将上述条件“A(1，0)”改为“A”，其他条件不娈，结论①是否仍成立？

⑶ 进一步研究：在⑵的条件下，又将条件“”改为“，其他条件不娈，那么和有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)

[解]⑴ C(1，1)，D(2，4) 　　　　OC：，M(2，2)

　　　 ∴

　　　 又CD：，H(0，)

　　　 　　　　　∴

⑵ 结论①仍成立

　　 ∵A(t，0)，B(2t，0)，C(t，)，D　　　 OC：M

　　 ∴：=2 ：3

⑶ C　　 CD：　　　　 H

∴和的数值关系为：

7.[05十堰课改]已知：如图，抛物线关于轴对称；抛物线关于y轴对称。抛物线与x轴相交于A、B、C、D四点；与y相交于E、F两点；H、G、M分别为抛物线的顶点。HN垂直于x轴，垂足为N，且

(1)A、B、C、D、E、F、G、H、M9个点中，四个点可以连接成一个四边形，请你用字母写出下列特殊四边形：菱形　　　　　　 ；等腰梯形　　　　　 ；平行四边形　　　　　 ；梯形　　　　　　 ；(每种特殊四边形只能写一个，写错、多写记0分)

(2)证明其中任意一个特殊四边形；

(3)写出你证明的特殊四边形的性质。

[解](1)菱形：AHBG，EBFC，AFDE

等腰梯形：HGEF，BCMH，AHMD

梯形：DMHC，MHAB

平行四边形：EGFM，AHMC，MHBD，AGDM

(2)在四边形EBFC中，　 ∵关于y轴对称　　 ∴OC=OB

∵关于x轴对称　　 ∴OE=OF　　 又EF⊥OB　　

∴EBFC为菱形

(3)菱形的性质有：①四条边相等 ②对角线互相垂直平分 ③每一条对角线平分一组对角　 ④对角相等

6.[05十堰课改]农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业。他准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈。

(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；

(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由。

[解](1)40－25=15故矩形的宽为　 ∴×25=187.5

(2)设利用的墙作为矩形羊圈的长，则宽为，设矩形的面积为，

则

∵，故当时，

∵200>187.5故张大伯设计不合理，应设计为长20m,宽10m利用20m墙的矩形羊圈

5.[05台州]如图，用长为18 m的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃.

(1)设矩形的一边为(m)，面积为(m²)，求关

于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(2)当为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

[解](1) 由已知，矩形的另一边长为

则= =　

自变量的取值范围是0＜＜18.　

(2)∵　 ==　

∴ 当=9时(0＜9＜18)，苗圃的面积最大　

最大面积是81 　　　

又解:　 ∵　 =－1＜0，有最大值，　　　　

∴　 当 =时(0＜9＜18)，

　 ()　

4.[05丽水]某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．

(1) 以O为原点，OC所在的直线为y轴

建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax²的解析式；

(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．(精确到0.1米)

[解](1) 由已知：OC=0.6，AC=0.6，　 得点A的坐标为(0.6，0.6)，

　　　 代入y=ax²，得a=，　 　　　∴抛物线的解析式为y=x².

　　　 (2)点D₁，D₂的横坐标分别为0.2，0.4，

　代入y=x²，得点D₁，D₂的纵坐标分别为：y₁=×0.2²≈0.07，y₂=×0.4²≈0.27，

　　　 ∴立柱C₁D₁=0.6－0.07=0.53，C₂D₂=0.6－0.27=0.33，

　　　 由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为：

　　　 　2(C₁D₁+ C₂D₂)+OC=2(0.53+0.33)+0.6≈2.3米.

3.[05嘉兴]在坐标平面内，半径为R的⊙O与x轴交于点D(1，0)、E(5，0)，与

y轴的正半轴相切于点B。点A、B关于x轴对称，点P(a，0)在x的正半轴上运动，作直线AP，作EH⊥AP于H。

(1)　　　 求圆心C的坐标及半径R的值；

(2)　　　 △POA和△PHE随点P的运动而变化，若它们全等，求a的值；

(3)　　　 若给定a=6，试判定直线AP与⊙C的位置关系(要求说明理由)。

解：(1)连BC，则BC⊥y轴。

取DE中点M，连CM，则CM⊥x轴。

∵OD=1，OE=5，∴OM=3。

∵OB²=OD·OE=5，∴OB=。

∴圆心C，半径R=3。

(2)∵△POA≌△PHE，∴PA=PE。

∵OA=OB=，OE=5，OP=a，∴，

∴　　　　　

(3)解法一：

过点A作⊙C的切线AT(T为切点)交x正半轴于Q，设Q(m,0),则QE=m-5,QD=m-1,

QT=QA-AT=QA-AB=

由OT²=OE·OD，得

∵　　　　 ∵a=6，点P(6，0)在点Q的右侧，

∴直线AP与⊙C相离。

解法二：

设射线AP、BC交于点F，作CT⊥AF于T，则

∵△AOP∽△CTF，∴

而AO=，AP=，CF=BF-BC=12-3=9，

∴，

∴直线AP与⊙C相离　

2.[05嘉兴]已知函数

(1)　　　 求函数的最小值；

(2)　　　 在给定坐标系中，画出函数的图象；

(3)　　　 设函数图象与x轴的交点为A(x₁，0)、B(x₂，0)，求的值。

[解]

(1)∵，

∴当x=2时，.　

(2)如图，图象是一条开口向上的抛物线。

对称轴为x=2,顶点为(2，-3)。

(3)由题意，x₁，x₂，是方程x²-4x+1=0的两根，

∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1.　　　

∴