多边形内角和镶嵌

与三角形有关的线段

与三角形有关的角

13．3[x-2(x-7)]≤4x ;　　　　　　 14．

　解　设A、B、C三种食品各取x，y，z kg，总价S元。依题意列混合组

　视S为参数，(1)代入(2)整体消去x+y得：4(100-z)+6z≥500z≥50, 　(2)+(3)由不等式性质得：10(x+z)+6y≥950, 　由(1)整体消去(x+z)得: 10(100-y)+6y≥950y≤12.5， 　再把(1)与(4)联立消去x得：S=900-4y+z≥900+4×(-12.5)+50,即S≥900。

　∴ 当x=37.5kg, y=12.9kg, z=50kg时，S取最小值900元。

　评述：由以上解法得求混合组中参变量范围的思维模式：由几个方程联立消元，用一个(或多个)未知数表示其余未知数，将此式代入不等式中消元(或整体消元)，求出一个或几个未知数范围，再用它们的范围来放缩(求出)参数的范围。

　涉及最佳决策型和方案型应用问题，往往需列混合组求解。作为变式练习，请同学们解混合组 　　其中a, n为正整数，x，y为正数。试确定参数n的取值。

　例8．(2000年山东聊城中考题)已知关于x的不等式组的整数解共5个，则a的取值范围是________。

　解：化简不等式组，得有解，将其表在数轴上， 　如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4<a≤-3。 　　 　

　变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求a的范围。 　(2)若上不等式组无整数解，求a的范围。(答：(1)-1<a≤0；(2)a>1)

　例9．关于y的不等式组 的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数t的范围。

　解：化简不等式组，得 　其解集为

　借助数轴图2得

　化简得 ,　 ∴ 。 　　 　 　评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图2中确定可动点4、B的位置，是正确列不等式(组)的关键，注意体会。

　解：由解集得x-2<0,脱去绝对值号，得 　。

　当a-1>0时，得解集与已知解集矛盾；

　当a-1=0时，化为0·x>0无解；

　当a-1<0时，得解集与解集等价。

　∴

　例7．若不等式组有解，且每一个解x均不在-1≤x≤4范围内，求a的取值范围。

　解：化简不等式组，得

　∵它有解，∴ 5a-6<3aa<3；利用解集性质，题意转化为：其每一解在x<-1或x>4内。 　于是分类求解，当x<-1时，得， 　当x>4时，得4<5a-6a>2。故或2<a<3为所求。

　评述：(1)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解集不在a≤x<b 范围内的不等式(组)，也可分x<a或x ≥b 求解。(2)要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。

　解：对照已知解集，结合不等式性质3得：1-a<0, 即a>1，选B。

　例5．(2001年湖北荆州市中考题)若不等式组的解集是x>a，则a的取值范围是(　 )。 　A、a<3　　B、a=3　　C、a>3　　D、a≥3

　解：根确定不等式组解集法则：“大大取较大”，对照已知解集x>a,得a≥3, ∴选D。

　变式(2001年重庆市初数赛题)关于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是，则关于x的不等式ax+b<0的解集为______。

　例1．若不等式的解集为，求k值。

　解：化简不等式，得x≤5k，比较已知解集，得，∴。

　例2．(2001年山东威海市中考题)若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是( )。 　A、m≥3　　B、m=3　　C、m<3　　D、m≤3

　解：化简不等式组，得，比较已知解集x>3，得3≥m, ∴选D。

　例3．(2001年重庆市中考题)若不等式组的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于_____。

　解：化简不等式组，得

　∵ 它的解集是-1<x<1，

　∴ 也为其解集，比较得 　

　∴(a+1)(b-1)=-6.

　评述：当一次不等式(组)化简后未知数系数不含参数(字母数)时，比较已知解集列不等式(组)或列方程组来确定参数范围是一种常用的基本技巧。

例4.求不等式组的正整数解。

	步骤：
解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3， 　解不等式≤1得x≤2， 　∴ 　 　∴原不等式组解集为x≤2， 　∴这个不等式组的正整数解为x=1或x=2	1、先求出不等式组的解集。 　 2、在解集中找出它所要求的特殊解， 正整数解。

　例5，m为何整数时，方程组的解是非负数？

　分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。

　解：解方程组得

　∵方程组的解是非负数，∴

　即 　解不等式组　∴此不等式组解集为≤m≤,

　又∵m为整数，∴m=3或m=4。

　例6，解不等式<0。

　分析：由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。(1) 或(2)因此，本题可转化为解两个不等式组。

　解：∵<0, ∴(1) 　或(2) 　由(1)　∴无解， 　由(2)　∴-<x<,　　 ∴原不等式的解为-<x<。

　例7.解不等式-3≤3x-1<5。

　解法(1):原不等式相当于不等式组

　解不等式组得-≤x<2，∴原不等式解集为-≤x<2。

　解法(2):将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<6,

　将这个不等式的两边和中间都除以3得，

　-≤x<2, ∴原不等式解集为-≤x<2。

　例8.x取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8。

　分析：(1)“不小于6”即≥6, (2) 由题意转化成不等式问题解决，

　解：由题意可得，6≤-<8,

　将不等式转化为不等式组，

　∴

　∴解不等式(1)得x≤6,　　 解不等式(2)得x>-, 　∴ 　∴原不等式组解集为-<x≤6,

　∴-<x≤6的整数解为x=±3, ±2, ±1, 0, 4, 5, 6。

　∴当x取±3，±2，±1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。

　例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。

　分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数＝十位上的数+2,一个不等关系：20<原两位数<40。

　解法(1):设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2),

　由题意可得：20<10x+(x+2)<40,

　解这个不等式得，1<x<3,

　∵x为正整数，∴1<x<3的整数为x=2或x=3，

　∴当x=2时，∴10x+(x+2)=24,

　当x=3时，∴10x+(x+2)=35,

　答：这个两位数为24或35。

　解法(2):设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10x+y,

　由题意可得(这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”)。

　将(1)代入(2)得，20<11x+2<40,

　解不等式得：1<x<3,

　∵x为正整数，1<x<3的整数为x=2或x=3,

　∴当x=2时，y=4，∴10x+y=24,

　当x=3时，y=5, ∴10x+y=35。

　答：这个两位数为24或35。

　解法(3):可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2和3。当十位数为2时，个位数为4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。

　例10.解下列不等式： 　(1)||≤4；　(2)<0； 　(3)(3x-6)(2x-1)>0。

　(1)分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝对值的知识|x|<a, (a>0)可知-a<x<a, 将其转化为；若|x|>a, (a>0)则x>a或x<-a。

　解：||≤4, 　 -4≤≤4,　　　　　　　

　∴由绝对值的定义可转化为：

　即

　解不等式(1)，去分母：3x-1≥-8,　 　解不等式(2)去分母：3x-1≤8,

　移项：3x≥-8+1,　　　　　移项：3x≤8+1,

　合并同类项：3x≥-7 　　　　合并同类项：3x≤9,

　系数化为1，∴x≥-, 　　　　系数化为1：∴x≤3,

　∴，　∴原不等式的解集为-≤x≤3。

　(2)分析：不等式的左边为是两个一次式的比的形式(也是以后要讲的分式形式)，右边是零。它可以理解成“当x取什么值时，两个一次式的商是负数？”由除法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等式组的问题。

　解：∵ <0，　∴3x-6与2x+1异号，

　即：I 　或II

　解I的不等式组得, ∴不等式组无解， 　解II的不等式组得, ∴不等式组的解集为-<x<2, 　∴原不等式的解集为-<x<2。

　(3)分析：不等式的左边是(3x-6)(2x+1)为两个一次式的积的形式，右边是零。它可以理解为“当x取何值时，两个一次式的积是正数？”由乘法的符号法则可知只要两个因式同号，积就为正值。因此这个不等式的求解问题，也可以转化为解一元一次不等式组的问题。

　解：∵ (3x-6)(2x+1)>0, 　∴(3x-6)与(2x+1)同号，

　即I或II

　解I的不等式组得, ∴不等式组的解集为x>2, 　解II的不等式组得, ∴不等式组的解集为x<-, 　∴原不等式的解集为x>2或x<-。

　说明：ab>0(或>0)与ab<0(或<0)这两类不等式都可以转化为不等式组的形式，进行分类讨论。这类问题一般转化如下： 　(1)ab>0(或>0), ∴a、b同号，

　即I或II , 再分别解不等式组I和II，

　如例10的(3)题。

　(2)ab<0(或<0),

　∵ab<0(或<0), ∴a、b异号，

　即I或II,

　再分别解不等式组I和不等式组II。

　例11.已知整数x满足不等式3x-4≤6x-2和不等式-1<, 并且满足方程3(x+a)=5a-2试求代数式5a³-的值。

　分析：同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为x值。再将x值代入方程3(x+a)=5a-2，转化成a的方程求出a值，再将a代入代数式5a³-即可。

　解：∵整数x满足3x-4≤6x-2和-1<,

　∴x为，解集的整数值， 　解不等式(1)，得x≥-, 解不等式(2)得，x<1, 　∴的解集为-≤x<1。 　　　∴-≤x<1的整数x为x=0,

　又∵x=0满足方程3(x+a)=5a-2,

　∴将x=0代入3(x+a)=5a-2中, ∴3(0+a)=5a-2, ∴a=1,

　当a=1时，5a³-=5×1³-=4,

　答：代数式5a³-的值为4。

一次不等式(组)中参数取值范围求解技巧

(提高部分)

　已知一次不等式(组)的解集(特解)，求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量(参数)取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。