向量数量积的物理模型是力的做功，两个非零向量夹角的范围是，平面向量的数量积是一个实数。

平面向量的数量积是向量的一种新的运算，它的定义、法则和性质不同于以往的运算，它是从物理中的“求功运算”中抽象出来的，从数、式的运算到向量的运算，是运算的一次飞跃。

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教科书第81页习题2.4第1,2,3题

　例1 判断下列说法是否正确：

①　　 向量的数量积可以是任意实数。

②　　 若，则对任意向量，有。

③　　 若，则对任意非零向量，有。

④　　 如果＞0，那么与的夹角为锐角。

⑤　　 若，，则。

⑥　　 若，，则。

例2 已知向量与的夹角为，，分别在下列条件下求：

(1)　　 ；(2)∥ ；(3)

(直接应用)

例3 已知正△ABC的边长为2，设，求

变式：在平行四边形ABCD中，已知,,,求：

(1)；(2)；(3)

问题 从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？(学生讨论)

平面向量的数量积

(1)最初的认识

学生讨论：如把力和位移抽象地看成两个“向量”，把力与位移的夹角抽象地看成两个向量的夹角，就可以得到一种新的运算，它就是从向量得到一个数量(即)的运算，这里是向量的夹角。

(2)进一步表述

引进“向量的数量积”等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为：

已知两个向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积(或内积)，记作，即=。

两个向量的夹角

问题 在上面的向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”的概念，它究竟代表什么意义呢？

从实际背景中的“力”和“位移”的夹角出发，展开讨论，得到下面的结论：

对于两个非零向量和，作，则()叫做向量和的夹角。

特别地，当向量与的夹角分别等于和时，两个向量分别是同向、反向和垂直。向量与垂直，记作。

在讨论中应注意上述定义中对向量的“非零”限制。

平面向量的数量积

(3)表述的精确化

问题 在进一步弄清了“向量的夹角”的意义以后，应该怎样更精确地表述向量的数量积的概念？

问题 零向量有没有数量积？应该如何定义？

问题 在实际的“求功运算”中是怎样解决这个问题的？

通过讨论，得到“数量积”的定义：

已知两个向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积(或内积)，记作，即=。同时规定：与任何向量的数量积为0，即。

(4)对定义的理解

①　　 尽管向量数量积是从求功运算中抽象出来的，但是，它已经是一种抽象的数学运算了。一般地，它已经不具有“求功”的具体意义了。在引入向量的数量积以后，物理学中的功的概念就可以用数学语言表述为：功就是力与在其作用下物体产生的位移的数量积，即

②　　 两个向量数量积的结果是一个实数，这与向量的加法、减法和数乘运算是不同的。

③　　 注意：，等式右边的零是一个实数，而不是零向量。

　 数量积的运算性质

　问题 向量的数量积有什么样的性质？

　　 在实数乘法中，我们有：同号时，，特别地，异号时，有。在向量的数量积中，类似的结论成立吗？

经过讨论得到下面的结论：

当与同向时，，特别地，或；

当与反向时，。

用类似的方法，可以得到下面的结论：

设向量和实数，则向量的数量积满足下列运算律：

①；

②；

③

我们已经学习了向量的加法、减法和数乘，它们的运算结果都是向量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？

联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。

问题 物理学中的“功”是通过什么方法计算出来的？

通过对物理公式

(其中是F与的夹角)的分析，得到如下结论：

(1)功是两个向量和的某种运算的结果，而且这个结果是一个数量；

(2)功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关，具体地，它和力与位移的夹角有关。

由此可见，“求功运算”作为一种新的向量运算，不同于我们以前学习过的其他数学运算。

21.(满分14分)

设 f (x) = px－－2 ln x，且 f (e) = qe－－2(e为自然对数的底数)

(I) 求 p 与 q 的关系；

(II)　　 若 f (x) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；

(III)　 设 g(x) = ，若在 [1,e] 上至少存在一点x₀，使得 f (x₀) > g(x₀) 成立, 求实数 p 的取值范围.

湛江二中2010届高三第二次月考理科数学

20.(满分12分)

　已知函数是定义在上的奇函数,在上

(Ⅰ)求函数的解析式;并判断在上的单调性(不要求证明)

(Ⅱ)解不等式.

19.(满分14分)

　如图，四边形为矩形，且，，为上的动点.

(1) 当为的中点时，求证：；

(2) 设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的大小为. 试确定点E的位置。

18.(满分14分)

　某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为

　 ，每件产品的售价与产量之间的关系式为

．

(Ⅰ)写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；

(Ⅱ)若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．　

17.(满分14分)

　已知：，().

(1) 求关于的表达式，并求的最小正周期；

(2) 若时的最小值为5，求的值.

16.(满分12分)

已知非空集合，，求使成立的的取值。