练习：1．D，2．C，3．图1－18．

作业：3．图1－19．

4．思考题：(1)三个平面把空间可能分成几部分？(2)如何证明推论3？

3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．

2．课本习题(略)．

1．复习课本有关内容并预习课本例题．

4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．(图1－16)

3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．

2．下列推断中，错误的是　　　　　　　　　　　　　　　 [　　 ]

D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共

A．公理

师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题(用幻灯显示)．

问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？

问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？

(用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．)

这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？

生：条件是直线(a)上有两点(A、B)在平面(α)内，结论是：直线(a)在平面(α)内．

师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示

11)．

这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．

在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？

生：不是，因为平面是无限延展的．

师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．

现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(演示图1－9－(1)给学生看)．问：两个平面会不会只有一个公共点？

生甲：只有一个公共点．

生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．

师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？(教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里)．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？

生：条件是两平面(α、β)有一公共点(A)，结论

是：它们有且只有一条过这个点的直线．

师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－(2)或图1－12．

公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．

下面请同学们思考下列问题(用幻灯显示)：

问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？

问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？

问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？

(教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳)．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？

生：条件是：不在同一直线上的三点(A、B、C)，结论是：过这三点(A、B、C)有且只有一个平面(α)．

A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．

以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面--存在性和唯一性．

B．推论

师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．

生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．

求证：经过a和A有且只有一个平面．

证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C．

∴A、B、C三点不在同一直线上．

∴过A、B、C三点有且只有一个平面α(公理3)．

∴B∈α，C∈α．

即过直线a和点A有一个平面α．

“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．

∴B∈β，C∈β．

∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．

∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．

这里证明“唯一性”时用了反证法．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

其条件、结论分别是什么？

生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面．

师(板书)：已知：直线a∩直线b＝A．

求证：经过a、b有且只有一个平面．

证明：“存在性”．

在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α(公理3)．

∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，

∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．

“唯一性”．

设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．

∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．

∴平面α与平面β重合．

∴过直线a、b的平面只有一个．

这里证明唯一性时，用的是“同一法”．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(证明作为思考题)

C．练习

1．下面是一些命题的叙述语(A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面)

A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．

B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．

其中命题和叙述方法都正确的是．　　　　　　　　　　　　 [　　 ]