22.　　 (宣武·文·题20)

数列的前项和为，若，点在直线上．

⑴求证：数列是等差数列；

⑵若数列满足，求数列的前项和；

⑶设，求证：．

[解析]　　　　　　 ⑴∵点在直线上，

∴．

两边同除以，得，

于是是以为首项，为公差的等差数列．　

⑵由⑴可知，，即，

∴当时，，

当时，，

经检验，当时也成立，∴．

于是．

∵，

∴，

相减，解得：．　　　　　　　　　　　　　　

⑶∵，

∴

．

21.　　 (西城·理·题20)

对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”．

不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．

⑴设数列的前项和，证明数列具有“性质”；

⑵试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；

⑶对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”．

[解析]　　　　　　 ⑴当时，，

又，所以．

所以是完全平方数，数列具有“性质”；

⑵数列1，2，3，4，5具有“变换性质”，

数列为3，2，1，5，4，

数列1，2，3，…，11不具有“变换性质”，

因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，

所以数列1，2，3，…，11不具有“变换性质”；

⑶设，

注意到，

令，

由于，

所以，

又，，

所以，即，

因为当时，数列具有“变换性质”，

所以1，2，…，可以排列成，

使得都是平方数．

另外，可以按相反顺序排列，

即排列为，

使得，

所以1，2，可以排列成

，

满足都是平方数．

即当时，数列也具有“变换性质”．

20.　　 (东城·理·题20)

已知数列满足，．

⑴求证：；

⑵求证：；

⑶求数列的通项公式．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴用数学归纳法证明

ⅰ)当时，．所以结论成立．

ⅱ)假设时结论成立，即，则．

所以．

即时，结论成立．

由ⅰ)、ⅱ)可知对任意的正整数，都有．

⑵．

因为，所以，即．

所以．

⑶，，

所以．

又，所以．

又，令，

则数列是首项为，公比为的等比数列．所以．

由，得．

所以．

19.　　 (东城·文·题20)

已知数列，其中，数列的前项和，数列满足．

⑴求数列的通项公式；

⑵是否存在自然数，使得对于任意，，有恒成立？若存在，求出的最小值；

⑶若数列满足，求数列的前项和．

[解析]　　　　　　 ⑴因为．

当时，；

所以．

所以．即．

又，

所以．

当时，上式成立．

因为，

所以是首项为，公比为的等比数列，故；

⑵由⑴知，．

则，

假设存在自然数，使得对于任意，有恒成立，

即恒成立，由，解得，

所以存在自然数，使得对于任意，

有恒成立，此时，的最小值为16．

⑶当为奇数时，

；

当为偶数时，

；

因此．

18.　　 (海淀·理·题20)

已知数列满足：，，．

⑴求的值；

⑵设，试求数列的通项公式；

⑶对于任意的正整数，试讨论与的大小关系．

[解析]　　　　　　 ⑴∵，，，，

∴；；．

⑵由题设，对于任意的正整数，都有：

，

∴．

∴数列是以为首项，为公差的等差数列．

∴．

⑶对于任意的正整数，

当或时，；

当时，；

当时，．

证明如下：

首先，由，，，可知时，；

其次，对于任意的正整数，

时，；

时，

所以．

时，

事实上，我们可以证明：对于任意正整数，…(*)(证明见后)，

所以此时．

综上可知：结论得证．

对于任意正整数，(*)的证明如下：

ⅰ)当()时，

，满足(*)式．

ⅱ)当时，，满足(*)式．

ⅲ)当时，

于是只须证明，如此递推，可归结为ⅰ)或ⅱ)的情形，

于是(*)得证．

17.　　 (海淀·文·题20)

已知数列满足：，，．

⑴求的值；

⑵设，，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；

⑶对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由．

[解析]　　　　　　 ⑴因为，所以，，

，；

⑵由题意，对于任意的正整数，，所以

又 所以．

又

所以是首项为，公比为的等比数列，所以

⑶存在．事实上，对任意的，，在数列中，

这连续的项就构成一个等差数列

我们先来证明：

“对任意的，，，，有”

由⑵得，所以．

当为奇数时，

当为偶数时，

记，其中．

因此要证，只需证明，

其中，

(这是因为若，则当时，则一定是奇数，

有

=；

当时，则一定是偶数，有

=)

如此递推，要证， 只要证明，

其中，其中．，，

如此递推下去，我们只需证明，，

即，即，由(I)可得，

所以对，，，，有，

对任意的，，

，，其中，，

所以

又，，所以

所以这连续的项，

是首项为，公差为的等差数列．

说明：当(其中，，)时，

因为构成一个项数为的等差数列，所以从这个数列中任取连续的项，也是一个项数为，公差为的等差数列．

16.　　 (丰台·理·题20)

设集合由满足下列两个条件的数列构成：

①；

②存在实数，使．(为正整数)

⑴在只有项的有限数列，中，其中；

；试判断数列是否为集合的元素；

⑵设是各项为正的等比数列，是其前项和，，，

证明数列；并写出的取值范围；

⑶设数列且对满足条件的的最小值，都有．

求证：数列单调递增．

[解析]　　　　　　 ⑴对于数列，取，显然不满足集合的条件，①

故不是集合中的元素，

对于数列，当时，

不仅有，，，而且有，

显然满足集合的条件①②，

故是集合中的元素．

⑵∵是各项为正数的等比数列，是其前项和，

设其公比为，

∴，整理得．

∴，∴，

对于，有，且，

故，且

⑶证明：(反证)若数列非单调递增，则一定存在正整数，

使，易证于任意的，都有，证明如下：

假设时，

当时，由，．

而

所以

所以对于任意的，都有．

显然这项中有一定存在一个最大值，不妨记为；

所以，从而与这题矛盾．

所以假设不成立，故命题得证．

15.　　 (丰台·文·题20)

设集合由满足下列两个条件的数列构成：

①

②存在实数，使．(为正整数)

⑴在只有项的有限数列，中，其中，，，，，

，，，，；试判断数列，是否为集合的元素；

⑵设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并写出的取值范围；

⑶设数列，且对满足条件的常数，存在正整数，使．

求证：．

[解析]　　　　　　 ⑴对于数列，当时，，显然不满足集合的条件①，

故不是集合中的元素，

对于数列，当时，

不仅有，，，而且有，

显然满足集合的条件①②，

故是集合中的元素．

⑵∵是等差数列，是其前项和，

，．设其公差为，∴．

∴

∴，

∵，∴．

∵，∴的最大值是，即．

∴，且的取值范围是．

⑶证明：∵，∴．

整理，

∵，∴，∴．

又∵，∴，

∴．

14.　　 (西城·文·题19)

设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中．

⑴求数列的首项和公比；

⑵当时，求；

⑶设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴由已知，所以；

，所以，解得；

所以数列的公比；

⑵当时，，

，………………………①，

，……………………②，

②－①得，

所以，

．

⑶，

因为，所以由得，

注意到，当n为奇数时，；当为偶数时，，

所以最大值为，最小值为．

对于任意的正整数n都有，

所以，解得，

即所求实数m的取值范围是．

13.　　 (石景山·理·题18)

在数列中，，且．

⑴求，的值；

⑵证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

⑶求数列的前项和．

[解析]　　　　　　 ⑴∵，，

∴，．

⑵证明：∵，

∴数列是首项为，公比为的等比数列．

∴，即，

∴的通项公式为．

⑶∵的通项公式为 ，

所以，

．