4.已知是三个不同的平面，命题“且”是正确的。如果把中的任意两个换成直线，在所得的命题中，真命题有

　　 A.0个　　　 　　　　 B.1个　　　　 　　　　　　　 C.2个　　　 　　　　　　　 D.3个

3.已知为等差数列，，是等差数列

的前项和 ，则使得到达最大值的是

A．　 　　　　　　　　　　 　B．　　 　　　　　　　 C．　　 　　　　　　　　　 D．

2.设的反函数为，若，则等于

　　 　A．　　 　　　　　 　B．　　 　　　　　　　 C．2　　 　　　　　　　　 D．

1.集合,则(　　 )

A．　　 B．　　 C．　　　　　　　 　 D．

13.(14分)如图所示，竖直放置的半圆形绝缘轨道的半径为R，下端与光滑绝缘水平面平滑连接，整个装置处于方向竖直向上的场强大小为E的匀强电场中.现有一质量为m、带电荷量为+q的物块(可视为质点)从水平面上的A点以初速度v₀水平向左运动，沿半圆形轨道恰好通过最高点C，已知E<.

(1)试计算物块在运动过程中克服摩擦力做的功.

(2)证明物块离开轨道落回水平面的水平距离与场强大小E无关，且为一常量.

解析：(1)物块恰能通过圆弧最高点C，即圆弧轨道此时与物块间无弹力作用，物块受到的重力和电场力提供向心力，则：

mg－Eq＝m

物块在由A运动到C的过程中，设物块克服摩擦力做的功为W_f，根据动能定理知：

Eq·2R－W_f－mg·2R＝mv－mv

解得：W_f＝mv+(Eq－mg)R.

(2)物块离开半圆形轨道后做类平抛运动，设水平位移为s，则s＝v_Ct

2R＝(g－)·t²

联立解得：s＝2R

因此，物块离开轨道落回水平面的水平距离与场强大小E无关，恒为2R.

答案：(1)mv+(Eq－mg)R

(2)物块离开轨道落回水平面的水平距离与场强大小E无关，恒为2R

12.(13分)弹射器是航母制造中的关键技术之一，重型喷气式战斗机在水平跑道上需要滑行450 m以上才能达到起飞速度，而即使当今最大的“尼米兹”级航空母舰甲板的长度也不过300余米，依靠弹射器是重型战斗机在航母上起飞的必不可少的环节.

已知美军F－14战斗机重3.0×10⁷ kg，在地面跑道上靠自身发动机提供动力需滑行450 m才能到达250 km/h的起飞速度，而这种战斗机在“尼米兹”号航母上，在蒸汽弹射器和自身发动机动力的共同作用下，可在45 m内将速度加到 250 km/h.若F－14战斗机加速度滑行时，发动机动力和飞机受到的阻力都恒定，则“尼米兹”号上蒸汽弹射器使一架F－14 战斗机起飞至少要做多少功？

解析：设F－14战斗机自身发动机的牵引力为F，受到的阻力为f，在水平地面跑道上起飞时，由动能定理有：

(F－f)·s₁＝mv²－0

在“尼米兹”号航母甲板上起飞时，有：

W+Fs₂－fs₂＝mv²

解得：弹射器至少需做的功W＝6.5×10¹⁰ J.

答案：6.5×10¹⁰ J

11.(13分)一质量为500 t的机车，以恒定功率375 kW由静止出发，经过5 min速度达到最大值54 km/h，设机车所受阻力f恒定不变，取g＝10 m/s²，试求：

(1)机车受到的阻力f的大小.

(2)机车在这5 min内行驶的路程.

解析：研究对象为机车.首先分析物理过程：机车以恒定功率P₀由静止出发→速度v增加→牵引力F减小(P₀＝Fv)→合力减小(F_合＝F－f)→加速度减小(a＝)→速度继续增加→直至合力减小为0，加速度a＝0，速度达到最大.

可见机车在这5 min内做的是加速度减小、速度不断增大的变速运动.当机车的速度达到最大时，P₀＝Fv_max，此时F＝f，机车的受力情况如图所示.

(1)已知P₀＝375 kW＝3.75×10⁵ W

v_max＝54 km/h＝15 m/s

根据P₀＝Fv_max时F＝f，得：P₀＝fv_max

机车受到的阻力f＝＝ N＝2.5×10⁴ N.

(2)机车在这5 min内，牵引力为变力，做正功，阻力做负功，重力、弹力不做功.

根据P₀＝，牵引力做的功为：W_F＝P₀·t

根据动能定理有：

P₀·t－f·s＝mv－0

解得：s＝

＝ m

＝2250 m.

答案：(1)2.5×10⁴ N　(2)2250 m

10.在光滑的水平面上有一静止的物体，现以水平恒力F₁推这一物体，作用一段时间后换成相反方向的水平恒力F₂推这一物体，当恒力F₂作用的时间与恒力F₁作用的时间相等时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32 J，则在整个过程中，恒力F₁、F₂做的功分别为(　)

A.16 J、16 J　 B.8 J、24 J

C.32 J、0 J　 D.48 J、－16 J

解析：如图所示，设两过程的时间均为t，A到B过程中，物体的加速度大小为a₁；B到D过程中，物体的加速度大小为a₂.取向右的方向为正方向，设AB＝s，可得：

s＝a₁t²

－s＝v₀t－a₂t²

v₀＝a₁t

解得：a₂＝3a₁

因为F₁＝ma₁，F₂＝ma₂

解得：F₂＝3F₁

又由动能定理得：

W₁+W₂＝ΔE_k＝32 J

W₁＝F₁·s

W₂＝F₂·s

可得：W₁＝8 J，W₂＝24 J.

答案：B

非选择题部分共3小题，共40分.

9.如图所示，物体的质量为1 kg，动滑轮和细绳的质量均不计.现用一竖直向上的拉力F拉动细绳，使物体从静止开始以5 m/s²的加速度匀速上升，则拉力F在1 s末的瞬时功率是(g取10 m/s²)(　)

A.150 W　 B.75 W　 C.37.5 W　 　D.25 W

解析：设与重物连接的悬绳的拉力为F′，由牛顿第二定律得：

F′－mg＝ma

解得：F′＝15 N.

方法一　每时刻拉力做功的功率都等于悬绳对重物做功的功率，故P＝F′·v＝F′·at＝75 W.

方法二　由动滑轮的特点知，F＝F′，拉力F作用点上升的加速度为10 m/s²，故P＝F·v′＝×10×1 W＝75 W.

答案：B

8.如图所示，一内壁粗糙的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的直径大得多)，在圆管中有一个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)，小球的质量为m.设某一时刻小球通过轨道的最低点时对管壁的压力为6mg，此后小球便做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服摩擦力所做的功是(　)

A.3mgR　B.2mgR　C.mgR　D.mgR

解析：设小球在环形管最低点的速度大小为v，由向心力公式得：6mg－mg＝m

可得小球在最低点的动能为：

E_k＝mv²＝mgR

又由题意知，小球到达最高点时速度等于零，设这一过程管壁摩擦力对小球做的功为W_f，由动能定理得：

W_G+W_f＝0－mv²

即－mg·2R+W_f＝－mgR

解得：W_f＝－mgR

即小球克服摩擦力做的功为mgR.

答案：D