4．合并求和：如：求 的和。

3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

2．错位相减法求和：如：

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

　公比含字母时一定要讨论

无穷递缩等比数列时，

6、对含a_n与S_n的题，进行熟练转化为同一种解题

[例题选讲]

例1、设{a_n}的首项为1的正项数列，且 求它的通项公式。

解：由题意a₁=1 , a_n>0,(n=1,2,3,…..)　　　

变式：已知数列{a_n},a₁=2,a_n+1=a_n+3n+2,求a_n,

解：a_n=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+(a_n-2-a_n-3)+…..+(a₂-a₁)+a₁

[点评]根据数列递推公式，利用迭加(a_n-a_n-1=f(n))、迭乘(a_n/a_n-1=f(n))、迭代

例2、已知数列{a_n}，a₁=1,a_n+1=

解法一：

由(1)-(2)得： 　　 设

法二：设

设 ，

法三：

……… 　　

[点评]注意数列解题中的换元思想,如

对数列递推式 ,我们通常将其化为 看成{b_n}的等比数列

练习:(1):数列{a_n}中,a₁=1,2a_n=

解方法同上:

(2) 数列{a_n}中,a₁=1,

解:原式化为 ,利用换元思想。利用上法得

例3、(猜证)已知数列{a_n}满足a₁=1,

(1)求a₂,a₃ ,a₄　 (2)证明：

解：(1)a₂＝4　　a₃＝13　　 a₄=40

(2)a₁ ,a₂,a₃ ,a₄由前可知，成立

假设n=k时也成立，即

n=k+1时, 也成立

综上，

练习：设正数数列{a_n}前n项和Sn，存在正数t，使得对所有自然数n，有 则通过归纳猜想得到Sn并证明？

解：n=1时，得a₁=t，n=2时，得a₂=3t，n=3时，得a₂=5t,猜测a_n=(2n-1)t

证明：n=1,2,3时,已经成立

假设n=k时也成立，即a_k=(2k-1)t,则S_k＝k²t

n=k+1时，

也成立

综上，a_n=(2n-1)t　 ,　 Sn= n²t

[点评]用数学归纳法，由n=k证明n=k+1成立时，从递推式入手

例4、设数列{a_n}的首项为1，前n项和为Sn，满足关系

(1)　　　 求证：数列{a_n}是等比数列；

(2)　　　 设数列{a_n}的公比为f(t)，作数列{b_n},使b1=1,bn= 　 (n=2,3,4,…..) 求{b_n}的通项公式

解L(1)由

又

　　　 得证

(2)

[点评]对a_n与S_n进行熟练转化解题

练习:设数列{a_n}为正项数列,若对任意正整数n, a_n与2得 等差中项等于其前n项和Sn与2的等比中项, 求{a_n}的通项公式

解:

备用补充：求下列数列(1) (2) (3)

5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明

4、利用换元思想

3、一阶递推 ,我们通常将其化为 看成{b_n}的等比数列

2、　 利用迭加a_n-a_n-1=f(n)、迭乘a_n/a_n-1=f(n)、迭代

1、　 由等差，等比定义，写出通项公式