(18) 本题主要考查正弦、余弦定理, 三角公式变换, 三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ)　 解: 利用正弦定理, 得

　　　　　　 sinCcosB+sinBcosC = 4sinAcosA,

　　　　　　 sin(B+C) = 4sinAcosA,

即 sinA = 4cosAsinA,

所以cosA =.　　　　　　　　　　　　　　 ……………………(7分)

(Ⅱ)　 解: 由(I), 得

　　　　 sinA =,

由题意,得

bcsinA＝,

所以bc = 8,

因此2 .　　　　　　　　　　　　　 …………………(14分)

(19) 本题主要考查排列组合, 随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查抽象概括能力。满分14分。

(Ⅰ)　 解: 记“取出的数各位数字互不相同”为事件B, 则

P(B)＝ .　　　　　　　　　　 …………………(5分)

(Ⅱ)　 解: 随机变量的取值为0, 1, 2. 的分布列是

	0	1	2
P

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………(11分)

所以的数学期望

E＝0×+1×+2×= . …………………(14分)

(20) 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分15分。

方法一:

(Ⅰ)　 解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足, 连结BM, 则∠BMP为二面角－EF－的平面角. 以点P为坐标原点, 以直线PM为x轴, 射线PB为z轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.

　　　 在Rt△BMC中,

由∠BCM＝, CB = 4, 得　　　

　　　　 CM =, BM =2.

在Rt△BMP中,

由∠BMP＝, BM =2, 得

　　　　 MP = 1, BP =.

故P(0,0,0), B(0, 0,), C(－1,－, 0), M(－1,0,0).

由∠ACM＝, 得

A(1,－4, 0).

所以= (1,,0), = (2,－,0),

则　　 －10,

cos∠ACP = －,

sin∠ACP = .

因此S_△ACP＝.　　　　　　　　　　　　　 …………………(7分)

(Ⅱ)　 解:＝(1,－4,－), ＝(0,－2,0),

　　　　　　　 24,

　　　　　　　 cos<>=,

所以AB与EF所成角的正切值为.　　　 　　…………………(15分)

因此AB与EF所成角的正切值为.　　　　 …………………(15分)

(21) 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析

几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ) 解: 设抛物线C的方程是x² = ay,

则,

即a = 4.

故所求抛物线C的方程为x² = 4y .　　　　　　 …………………(5分)

(Ⅱ) 解: 设P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂),

则抛物线C在点P处的切线方程是

,

直线PQ的方程是

.

将上式代入抛物线C的方程, 得

,

故 x₁+x₂ =, x₁x₂ =－8－4y₁ ,

所以 x₂=－x₁ , y₂=+y₁+4 .

而＝(x₁, y₁－1), ＝(x₂ , y₂－1) ,

×＝x₁ x₂+(y₁－1) (y₂－1)

＝x₁ x₂+y₁ y₂－(y₁+y₂)+1

＝－4(2+y₁)+ y₁(+y₁+4)－(+2y₁+4)+1

＝－2y₁ －－7

＝(+2y₁+1)－4(+y₁+2)

＝(y₁+1)²－

＝

＝0,

故 y₁＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) .

经检验, 符合题意.

所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). …………………(15分)

(22) 本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创新意识。满分14分。

(Ⅰ) 解: 当a = 0时,　 f (x)＝x³－4x²+5x ,

>0,

所以 f (x)的单调递增区间为, .　 …………………(6分)

(Ⅱ)　 解: 一方面由题意, 得

即 ;

另一方面当时,

f (x) = (－2x³+9x²－12x+4)a+x³－4x²+5x ,

令g(a) = (－2x³+9x²－12x+4)a+x³－4x²+5x, 则

g(a) ≤ max{ g(0), 　g() }

= max{x³－4x²+5x , (－2x³+9x²－12x+4)+x³－4x²+5x }

= max{x³－4x²+5x , x²－x+2 },

f (x) = g(a)

≤ max{x³－4x²+5x , x²－x+2 },

又{x³－4x²+5x}=2, {x²－x+2}=2, 且f (2)＝2,

所以当时,　 f (x)在区间[0,2]上的最大值是2.

综上, 所求 a的取值范围是.　　　　 …………………(14分)

(11) 1　　　　　　　　　　 (12) 1　　　　　　　　　　　　 (13) (－1)ⁿ( (－1)ⁿ与每对一个得2分)

(14) 1 　　　　　(15) 169　　　　　　 (16) 15　　　　　　　　 (17) [1,)

(1) B　 (2) D　　　 (3) C　　　 (4) A　　　 (5) D

(6) D　 (7) C　　　 (8) C　　　 (9) A　　　 (10) B

(18) (本题满分14分) 在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足

.

(Ⅰ) 求的值;

(Ⅱ) 若△ABC的面积是, 求的值.

(19) (本题满分14分) 在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.

(Ⅰ) 求取出的数各位数字互不相同的概率;

(Ⅱ) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则

). 求随机变量的分布列及其数学期望E. 　

(20) (本题满分15分) 如图, 在平面内直线EF与线段AB相交于C点, ∠BCF＝, 且

AC = CB = 4, 将此平面沿直线EF折成的二面角－EF－, BP⊥平面, 点P

为垂足.

(Ⅰ) 求△ACP的面积;

(Ⅱ) 求异面直线AB与EF所成角的正切值.

(21) (本题满分15分) 已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).

(Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ) 在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P的直

线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且PQ与C

在点P处的切线垂直? 若存在, 求出点P的坐标;

若不存在, 请说明理由.

(22) (本题满分14分)已知函数().

(Ⅰ) 当a = 0时, 求函数的单调递增区间;

(Ⅱ) 若函数在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围.　

数学测试卷(理科)答案及评分参考

说明:

(11) 若实数满足不等式组则3x－y的最小值是________.

(12) 若等比数列{a_n}的前n项和S_n满足:　 a_n+1＝a₁ S_n+1(n∈N^*), 则a₁=________.

(13) 已知a₀≠0.

① 设方程a₀x+a₁＝0的1个根是x₁, 则x₁＝－；

② 设方程a₀x²+a₁x+a₂＝0的2个根是x₁, x₂, 则x₁ x₂＝；

③ 设方程a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃＝0的3个根是x₁, x₂, x₃, 则x₁ x₂ x₃＝－；

④ 设方程a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄＝0的4个根是x₁, x₂, x₃, x₄, 则x₁ x₂ x₃ x₄＝；

　　　　　　　　　　　　　　　 　……

由以上结论, 推测出一般的结论:

设方程a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n＝0的n个根是x₁, x₂, …, x_n ,

则x₁ x₂…x_n＝________.

(14) 设直线3x+4y－5＝0与圆C₁: 交于A, B两点, 若圆C₂的圆心在线段AB上, 且圆C₂与圆C₁相切, 切点在圆C₁的劣弧上, 则圆C₂的半径的最大值是________.

(15) 如图, 某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上, 小山的高

BC为35米, 在地面上有一点A, 测得A, C间的距离为91米,

从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为, 则这座电视

发射塔的高度CD为________米.

(16) 将5人分成3组, 每组至多2人, 则不同的分组方式种数是________.

(17) 若函数在区间上单调递增, 则实数a的取值范围是________.

(1) 设非空集合A, B满足AB, 则

(A) x₀∈A, 使得x₀B 　　　　　　　　　(B)x∈A, 有x∈B　

(C) x₀∈B, 使得x₀A　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)x∈B, 有x∈A

(2) 在二项式(x－)⁶的展开式中, 常数项是

(A) －10　　　　　　 (B) －15　　　　　 　(C) 10 　　　　　(D) 15

(3) 已知a, b是实数, 则“a = b”是“a³ = b³ ”的

(A) 充分而不必要条件　 (B) 必要而不充分条件

(C) 充分必要条件　　 　(D) 既不充分也不必要条件

(4) 若复数z与其共轭复数满足: |z|=, z +=2, 则

(A) 　z²－2z+2＝0　　 　(B) 　z²－2z－2＝0

(C) 　2z²－2z+1＝0　 　(D) 　2z²－2z－1＝0

(5) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k的值是

(A) 　4　　　　　　　 　(B)　 5　　　　　　　

(C)　 6　　　　　　　 　(D)　 7

(6) 设向量, 满足:, , ,

则与的夹角是

(A) 　　　　　　　　(B) 　　

(C) 　　　　　　　　(D)

(7) 在Rt△ABC中, ∠A＝, ∠B＝, 　AB=1. 若圆O的圆心在直角边AC上, 且与AB

和BC所在的直线都相切, 则圆O的半径是

　(A) 　　　　　　　(B)　 　　　　　　

　(C) 　　　　　　　(D)

(8) 若某多面体的三视图(单位: cm)如图所示, 则

此多面体的体积是

(A) cm³　　　　　 　(B) cm³

(C) cm³　　　　　　　　　　　 (D) cm³

(9) 过双曲线(a>0, b>0)的右焦点F作圆的切线FM(切点为M),

交y轴于点P. 若M为线段FP的中点, 则双曲线的离心率是

　(A) 　　　　　　　　　　 (B) 　　　　　　　　　　 (C) 2　　　　　　　　　　　　 (D)

(10) 在直角坐标系中, 如果两点A(a, b), B(－a, －b)在函数的图象上, 那么称

[A, B]为函数f (x)的一组关于原点的中心对称点 ([A , B]与[B, A]看作一组). 函数

关于原点的中心对称点的组数为

(A) 1　　　　　　　 (B) 2　　　　　　　 (C) 3　　　　　　 　(D) 4

非选择题部分 (共100分)

35. 2009年11月18日，中越陆地边界勘界文件签字仪式在北京举行。中越陆地边界经过双方历时10年的共同努力已全线勘定。签署的文件包括《中越陆地边界勘界议定书》及其附图、《中越陆地边界管理制度协定》和《中越陆地边境口岸及其管理制度协定》。这一外交成果

①标志着中越两国关系开始正常化 ②有利于共同致力于两国边境地区的长治久安

③有利于两国共同努力维护南海的和平稳定 ④体现了坚持和平共处五项原则处理国际关系

A．①②③　　 B．①②④　　 C．①③④　　 D．②③④

34. 2009年11月23日，新疆维吾尔自治区十一届人大常委会十五次会议对《自治区民族团结教育条例(草案)》进行了初次审议，旨在通过地方性立法将新疆民族团结教育工作纳入法制化、规范化和日常化管理轨道。 这表明

①要依法推进维护民族团结教育工作　　　 ②地方人大常委会享有国家立法权

③立法机关要确保民族团结教育有法必依　 ④这有利于维护新疆各族人民的最高利益

A．①②　　 B．①④　　 C．②③　　 D．③④

33. 党是整个社会的表率，党的各级领导干部又是全党的表率。各级党组织和领导干部的作风如何，对全党全社会有着很强的示范性和导向作用。这是因为

A．中国共产党是中国人民的先锋队　 B．党的各级领导干部行使国家权力

C．中国共产党代表全体公民的利益　 D．中国共产党对民主党派全面领导

32.近日，北京市人大少数民族代表小组正式成立。该小组由23名少数民族市人大代表组成，成立后将致力于民族工作相关的专题调研，参与民族工作相关的议案督办，组织民族工作相关的立法和执法检查，参加民族文化经济交流活动。这表明

A．北京市人大依法加强执法监督　　　　 B．少数民族地区实行民族区域自治

C．各级人大要有适当名额的少数民族代表 D．人大加大依法行政、公正司法力度