4．本课小结

　(1)同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此 ， ……．

　(2)诸如 ， ，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．

　(3)利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．

课时作业：

3．演练反馈(投影)

(1)已知： ，求 的其他各三角函数值．

(2)已知 ，求 ， ．

(3)化简：

解答：(1)解：∵ ，所以 是第二、第三象限的角．

　如果 是第二象限的角，则：

　又 　　

　如果 是第三象限的角，那么

(2)解：∵ 　 ∴ 是第二或第四象限的角

由[例3]的求法可知当 是第二象限时

　当 是第四象限时

(3)解：原式

2．探索研究

(1)复习任意角三角函数定义

　上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角 的六个三角函数是如何定义的呢？

　在 的终边上任取一点 ，它与原点的距离是 ，则角 的六个三角函数的值是：

 ；　　 ；　　

 ；　　 ；　　

(2)推导同角三角函数关系式

　观察 及 ，当 时，有何关系？

　当 且 时 、 及 有没有商数关系？

　通过计算发现 与 互为倒数：∵ ．

　由于 ，

　这些三角函数中还存在平方关系，请计算 的值．

　由三角函数定义我们可以看到： ．

　∴ ，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：

　①平方关系：

　②商数关系：

　③倒数关系：

　即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一个角的正切、余切之积等于1(即同一个角的正切、余切互为倒数)．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当 取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中， 在第三个式中， 的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．

(3)同角三角函数关系式的应用

　同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．

[例1]已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的值．

解：∵ ，且 ，∴ 是第二或第三象限角．

　如果 是第二象限角，那么

　如果 是第三象限角，那么 ，

说明：本题没有具体指出 是第几象限的角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

　[例2]已知 ，求 的值．

　解： ，且 ， 是第二或第三象限角．

　如果 是第二象限角，那么

　如果 是第三象限角，那么 ．

　说明：本题没有具体指出 是第几象限角，则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

　[例3]已知 为非零实数，用 表示 ， ．

　解：因为 ，所以

　又因为 ，所以

　于是 　　 ∴

　由 为非零实数，可知角 的终边不在坐标轴上，考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：

　在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明．

　同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4

　[例4]化简下列各式：

　(1) ；(2) ．

　解：(1) 　　　　　　　 (2)

1．设置情境

　与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．

教学重点：

　理解并掌握同角三角函数关系式．

教学难点：

　已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；

教学用具：

　直尺、投影仪．

教学步骤：

　(1)在应用平方关系时，其结果不唯一，注意根据角所在的象限来取舍；

　(2)在学习中必须注意“同角”这一前提，只有在这一前提下都能使用公式；

　(3)注意公式的等价变形和常用数值：

　 ；

 ；

 ．

　(4)证明恒等式要注意等价变形，不能随意扩大和缩小范围；

　(5)化简要尽使结果只存在一个角，尽是使根式下，分母上不含有三角函数，其结果还要依题意而定．

教学设计方案(一)

同角三角函数的基本关系式

教学目标：

1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系．

　重点是三个公式的推导和应用．

　(1)已知 的三角函数值中的一个，表示它的其他三角函数值；

　(2)化简三角函数式；

　(3)证明简单的三角恒等式．

　难点是公式的应用．

　(1)利用 的某一三角函数值求 的其他三角函数值；

　(2)三角恒等式的证明，证明恒等式可从左向右，也可从右向左，等价变形；

　(3)接受切化弦的思想，及恒等变形中等价转化的思想；

　(4)化简是最基本的解题思想，结果要求最简形式．

4.4 同角三角函数的基本关系式

教学目标

　(1)掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系； 　(2)会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式；应用同角三角函数关系，化简三角式(求值)；并能证明简单的三角恒等式； 　(3)牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角问题的思维能力． 　(4)通过同角三角函数的基本关系学习，提示事物之间的普通联系规律，培养学生辩证唯物主义要观．

教学建议

16． ．

提示：原式

　　　 ．

15． ．

提示：由

　　得 ．