3．通过函数定义由变量观点向映射观点的过渡，是学生能从发展的角度看待数学的学习．

教学建议

2．通过函数概念的学习，使学生在符号表示，运算等方面的能力有所提高．

　(1)对函数记号 有正确的理解，准确把握其含义，了解 ( 为常数)与 的区别与联系；

　(2)在求函数定义域中注意运算的合理性与简洁性．

1．理解函数的概念，了解函数的三种表示法，会求函数的定义域．

　(1)了解函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射．能理解函数是由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体．

　(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法．了解每种方法的优点．

　(3)能正确使用“区间”及相关符号，能正确求解各类函数的定义域．

扩展资料

逆映射

　在本节中我们介绍了映射与一一映射的概念，并将以此为基础学习函数的概念．对于一一映射还可以进一步做一点研究．

　如图：

　图(1)　　　　 　 　　　 图(2)

　容易看出，图中(1)表示的映射是在 作用下， 到 上的一一映射，图(2)所示的映射是在 的作用下集合 到集合 上的一一映射，在映射 的作用下的象与原象，分别是在映射 的作用下的原象与象，由此引出一个新概念称为逆映射．

　定义:设 是集合 到集合 上的一一映射，如果对于 中每一个元素 ，使 在 中的原象 和它对应，这样得到的映射称为映射 的逆映射，记作 ．

　由定义不难看出只有一一映射才有逆映射，若 是一一映射，则 也是一一映射，刚才图中(1)(2)， 就是 的逆映射．

　对于逆映射，它对于我们后面所学的反函数概念的理解有很大的帮助，也可以帮助我们认清反函数与原来函数之间的关系．

探究活动

　(1) {整数}， {偶数}， ，试问 与 中的元素个数哪个多?为什么?如果我们建立一个由 到 的映射对应法则 乘以2，那么这个映射是一一映射吗?

　答案：两个集合中的元素一样多，它们之间可以形成一一映射．

　(2)设 ， ，问最多可以建立多少种集合 到集合 的不同映射?若将集合 改为 呢?结论是什么？如果将集合 改为 ，结论怎样?若集合 改为 ， 改为 ，结论怎样?

　从以上问题中，你能归纳出什么结论吗?依此结论，若集合A中含有 个元素，集合B中含有 个元素，那么最多可以建立多少种集合 到集合 的不同映射?　　　　　　

　答案：若集合A含有m个元素，集合B含有n个元素，则不同的映射 有 个．

习题精选

　(1)设集合 ， ，从 到 的对应法则 不是映射的是(　 )．

　(2) 已知映射 ，其中集合 ，且对任意 ，在 中和它对应的元素是 ，则集合 中元素的个数最少是___________．

　(3)设集合 ， ．下列四个图象中，表示从 到 的映射的是(　 )．

　(4)已知从 到 的映射 ，则 的原象是__________．

　(5)已知从 到 的映射是 ，从 到 的映射是 ，其中 ，则从 到 的映射是___________．

　(6)已知集合 ， ，

且 是由 到 的一一映射，求 的值．

　答案：(1) ； (2) 4； (3) ； (4) 或 ； (5) ； (6)

典型例题

　例1 下列集合 到集合 的对应中，判断哪些是 到 的映射? 判断哪些是 到 的一一映射?

　(1) ，对应法则 ．

　(2) ， ， ， ， ．

　(3) ， ，对应法则 取正弦．

　(4) ， ，对应法则 除以2得的余数．

　(5) ， ，对应法则 ．

　(6) ， ，对应法则 作等边三角形的内切圆．

　分析：解决的起点是读懂各对应中的法则含义，判断的依据是映射和一一映射的概念，要求对“任一对唯一”有准确的理解，对问题考虑要细致，周全．

　解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合 中有些元素(正整数)没有原象．

　(2)是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数．

　(3)是映射，是一一映射，因为集合 中的角的正弦值各不相同，且集合 中每一个值都可以是集合 中角的正弦值．

　(4)是映射，不是一一映射，因为集合 中不同元素对应集合 中相同的元素．

　(5)不是映射，因为集合 中的元素(如4)对应集合 中两个元素(2和-2)．

　(6)是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆．边长不同，圆的半径也不同．

　说明：此题的主要目的在于明确映射构成的三要素的要求，特别是对于集合 ，集合 及对应法则 有哪些具体要求，包括对法则 是数学符号语言给出时的理解．　　

　例2 给出下列关于从集合 到集合 的映射的论述，其中正确的有_________．

　(1) 中任何一个元素在 中必有原象;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　(2) 中不同元素在 中的象也不同 ;

　(3) 中任何一个元素在 中的象是唯一的;

　(4) 中任何一个元素在 中可以有不同的象;

　(5) 中某一元素在 中的原象可能不止一个;

　(6)集合 与 一定是数集；

　(7)记号 与 的含义是一样的．

　分析：此题是对抽象的映射概念的认识，理论性较强，要求较高，判断时可以让学生借助具体的例子来帮助．

　解： (1)不对　 (2)不对　 (3)对　　 (4)不对　　 (5)对　　　 (6)不对　　 (7)不对

　说明：对此题的判断可以将映射中隐含的特点都描述出来，对映射的认识更加全面，准确．

　例3 (1) ， ， ， ， ．在 的作用下， 的原象是多少?14的象是多少?

　(2)设集合 {偶数}，映射 把集合A中的元素 映射到集合B中的元素 ，则在映射 下，象20的原象是多少？

　　(3) 是从 到 的映射，其中 ， ， ，则 中元素 的象是多少? 中元素 的原象是多少?

　分析：通过此题让学生不仅会求指定元素象与原象，而且明确求象与原象的方法．

　解：(1)由 ，解得 ，故 的原象是6;

　　　　 又 ，故14的象是 ．

　(2)由 解得 或 ，又 ，故 即20的原象是5．

　(3) 的象是 ，由 解得 ，故 的原象是1．

说明：此题主要作用在于明确利用代入法求指定元素的象，而求原象则需解方程或方程组．在本题中第(2)小题和第(3)小题在求象时，对 和 的制约条件都是两条，应解方程组，且还可以对方程组解的情况进行讨论(无解，有唯一解，无数解)．其中第(3)小题集合 中的元素应是二元数(有序数对)，计算出的象必须写成有序数对的形式，所以求原象时必须先认清集合的特征．

2.2 函数

教学目标

2．一一映射是特殊的映射． 　3．掌握求象与原象的方法．

1．映射是特殊的对应

5．(板书)求象与原象．

　例2 (1)从R到 的映射 ，则R中的-1在 中的象是_____； 中的4在R中的原象是_____． 　(2)在给定的映射 下，则点 在 下的象是_____，　　　 点 在 下的原象是______． 　(3) 是集合A到集合B的映射， ，则A 中　 　　元素 的象是_____，B中象0的原象是______， B中象-6的原象是______． 　由学生先回答第(1)小题，之后让学生自己总结一下，应用什么方法求象和原象，学生找到方法后，再在方法的指导下求解另外两题，若出现问题，教师予以点评，最后小结求象用代入法，求原象用解方程或解方程组． 　注意：所解的方程解的情况可能有多种如有唯一解，也可能无解，可能有无数解，这与映射的定义也是相吻合的．但如果是一一映射，则方程一定有唯一解．

4．(板书)一一映射

　(1)定义:设A，B是两个集合， 是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下 对于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射． 　给出定义后，可再返回到刚才的例子，让学生比较它与映射的区别，从而进一步明确“一一”的含义．然后再安排一个例题． 　例1 下列各表表示集合A(元素a)到集合B(元素b)的一个映射，判断这些映射是不是A到B上的一一映射．

　其中只有第三个表可以表示一一映射，由此例点明一一映射的特点 (板书)(2)特点:两个集合间元素是一对一的关系，不同的对的也一定是不同的(元素个数相同);集合B与象集C是相等的集合． 　对于映射我们现在了解了它的定义及特殊的映射一一映射，除此之外对于映射还要求能求出指定元素的象与原象．

3．(板书)对概念的认识

　(1) 与 是不同的，即 与 上有序的．

　(2)象的集合是集合B的子集．

　(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合．

　在刚才研究的基础上，教师再提出(2)和(4)有什么共性，能否把它描述出来，如果学生不能找出共性，教师可再给出几个例子，(用投影仪打出)

　如：

　(1)

　(2) {数轴上的点}， 实数与数轴上相应的点对应． 　(3) {中国，日本，韩国}， {北京，东京，汉城}， 相应国家的首都． 　引导学生在元素之间的对应关系和元素个数上找共性，由学生提出两点共性集合A中不同的元素对集合B中不同的元素;②B中所有元素都有原象． 　那么满足以上条件的映射又是一种特殊的映射，称之为一一映射．

2．象与原象 　可以用前面的例子具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象． 　提问3：下面请同学根据自己对映射的理解举几个映射的例子，看对映射是否真正认识了． 　(开始时只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是无限集，或生活中的例子等)由学生自己评判．之后教师再给出几个(主要是补充学生举例类型的不足)

　(1) ， ， ， ．

　(2) ．

　(3) 除以3的余数．

　(4) {高一1班同学}， {入学是数学考试成绩}， 对自己的考试成绩．

　在学生作出判断之后，引导学生发现映射的性质(教师适当提出研究方向由学生说，再由老师概括)